Ecuaciones de Orden Superior Variación de Parámetros

Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales que no son de primer orden, es decir en las que tenemos involucradas segundas, terceras, etc.. derivadas.

Estas se complican más pero curiosamente son más mecánicas (y por lo tanto para mucha gente más sencillas).

A continuación se presentan varias formas de solucionarlas:


 Homogéneas

(Órden 2)

Recordemos, que a una ecuación la llamemos Homogénea cuando esta igualada a cero. 

Nota: Para empezar a explicar estas ideas usaré de base que estamos trabajando una ecuación de grado dos, al final del articulo contaré como subir a ordenes superiores.

Estas son las más sencillas de todas, incluso mucho más que varias de primer orden incluso. Veamos, una ecuación diferencial lineal de orden 2 homogénea la podemos escribir así:

PASO 1: La Ecuación Original

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.06.39 p.m.

Ecuación Original: Así recibimos el problema

PASO 2: Encontremos las soluciones del Polinomio Característico 

A cada ecuación tenemos un “polinomio característico” que podemos escribir así:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.06.44 p.m.

Este es el polinomio que tenemos que igualar a cero para encontrar raíces

Esto nos da mucha información, la parte interesante de todo esto es encontrar sus raíces, así que antes de seguir, veamos varias técnicas que quizá te ayuden a encontrar las soluciones a dicho polinomio.

Recuerda: Encontrar las raíces de un polinomio no es mas que igualo a cero y encontrar todos los valores de r que cumplen dicha igualdad.

Quizá Ayude: Raíces Cuadradas de Complejos

Supongamos que llegamos a un punto en el que tenemos que encontrar la raíz cuadrada de un número complejo…

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.39.22 p.m.

Podemos hacer un poco de Álgebra y ver que para encontrar estos valores, solo tenemos que hacer un sistema de ecuaciones:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.33.19 p.m.

Pero lo más fácil siempre es la formula directa, aquí la tienes:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.29.36 p.m.

Fórmula Super Pro

PASO 3: Armar las Phi’s

La respuesta de nuestra ecuación tendrá muchas partes, cada una de ellas las denotamos con la letra phi , cada phi esta relacionada a una raíz, por eso era necesario sacarlas, ahora, sin mas veamos como quedan las phi:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.41.04 p.m.

Formulazo (Supon r son las raíces del polinomio)

PASO 4 – FINAL: Armar la Solución “Homogénea”

La solución homogénea es bastante sencilla de encontrar con TODO LO QUE YA SABEMOS , ya que todas las soluciones tienen esta forma:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.06.49 p.m.

Esta es la solución a nuestro problema : `)

Ejemplo:

Veamos un ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.32.41 p.m..png


Generalización de Homogéneas

Incluso podemos encontrar una solución mas general en la que para una ecuación de n grado, encontramos su polinomio asociado, y sacamos las raíces.

Supongamos que tenemos una raíz de multiplicidad m (osea que se esta raíz se repite m veces), entonces para esa pura raíz tendríamos m phi’s asociadas a ella, cada una de la forma:

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.26.10 p.m.

Donde k varía de 0 a m-1, y r es la raíz repetida.


Homogéneas: Caso Especial – Raíces Complejas

En estos casos podemos hacer más cosas, así que veamos que pasa en este caso especial: Vamos a simplificar esto aún más, imaginate que tenemos la siguiente expresión:

PASO 1: La Ecuación Original

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.53.43 p.m.

Donde las a’s son dos números reales cualquiera

PASO 2: Raíces

Ahora supongamos que las raíces del polinomio característico:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.51.29 p.m.

Veamos como encontrar esas misteriosas alfa y beta:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.26.15 p.m..png

Y ya solo de formulazo tenemos que:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.19.41 p.m..png

PASO 3 – 4: Armar las Phi’s 

Nota: Euler

Para entender estohay que saber antes las que consideramos las identidades de Euler:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 4.54.16 p.m..png

Euler Rocks papu!

Usando lo que ya sabemos si que podemos llegar a saber de donde salió la Formula Re Util:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.07.32 p.m..png

No olvides que d2 es imaginario : )

PASO 4: La Solución

Ahora podemos saber que ver que cualquier solución de escribe de la siguiente fórmula:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 10.00.41 p.m.

Formula Re útil


Variación de Parámetros: Constantes

(Órden 2)

Nota: Dependencia Lineal

Antes que ver los pasos tenemos que saber algunas cosas:

Dos funciones definidas en un invervalo, son linealmente dependientes en I, si existen dos constantes (diferentes de cero) tal que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 12.50.38 p.m..png

Y esto se cumple para todas las x dentro de ese intervalo.

Nota: Independencia Lineal

Dos funciones definidas en un intervalo, son linealmente dependientes en I, si las únicas dos constantes que cumplen para todas las x dentro del intervalo que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 12.50.38 p.m..png

Son (redoble de tambores) que ambas constantes son cero.

Notas: Wronskiano

Dos soluciones de phi1 y phi2 de L(y)=0 son linealmente independientes en Intervalo si y solo si lo siguiente es distinto de cero:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 12.56.07 p.m..png

Por ejemplo si suponemos que las raíces son diferentes podemos hacer este formulazo:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.12.42 a.m..png

Formulazo para cuando las raíces son diferentes : ‘ )

Para todas las x en el intervalo existe algo llamado Wronskiano de phi1 y phi2.

Si phi1 y phi2 son solucion de L(y) = 0 sobre algun intervalo, contiene un punto Xo, entonces:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.01.45 p.m.

Ejemplo de sacar un Wronskiano:

Veamos si estas dos funciones son dependientes:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.07.22 p.m..png

Como ves, son independientes.

PASO 1: La Ecuación Original

Considera la seguinte ecuación que se parece mucho a lo que acabamos de hacer:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.10.59 p.m.

Ecuación Original

PASO 1.1: Entender como irá la Solución

Podemos re bautizar a lo que habidos hecho con las ecuaciones homogéneas, para que veas que la solución a LA ECUACIÓN QUE ACABO DE PONER bien esta fórmula:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.22.50 a.m..png

O visto de otra manera queremos esto:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.16.42 p.m.

Otra forma de ver la solución

PASO 2.0: Encuentra la Parte Homogénea

Y recuerda la solución de la parte homogénea ya sabemos como sacarla

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.11.02 p.m.

Esta es la parte homogénea

Así que ahora iguala tu ecuación original a cero y ve a encontrar tu solución como si fuera una ecuación homogénea de las de arriba, orale!

PASO 2.0.1: ENTENDER  la Parte  NO Homogénea

Ahora lo que queremos es encontrar una solución tal que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.16.28 p.m..png

Solución que cumpla con esto

Ahora solo queda expandir un poco lo que acabamos de decir:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.24.00 p.m..png

Derivadas

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.24.07 p.m.

Evaluando la función

Bueno, de la expresión terriblemente larga de arriba podemos deducir que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 2.01.56 p.m.

Finalmente podemos saber ya que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 2.02.03 p.m.

De forma diferencial

PASO 2.1: Encontrar las U’s

Y esas u’s salen de:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 2.02.31 p.m.

Formulazo

PASO 2.2: Armar la Parte Particular de la Solución

Esta parte tendrá la siguiente forma:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.16.38 p.m.

PASO 3: Armar la Solución Final

Recuerda, ya solo tiene que escribir tu solución, ya tienes ambas partes :

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.22.50 a.m..png

O visto de otra manera queremos esto:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.16.42 p.m.

Otra forma de ver la solución

Notas: Ejemplo de este Tipo

Resolvamos la ecuación diferencial CodeCogsEqn (3).png:

  • Primero hallemos la solución asociada a la ecuación homogénea CodeCogsEqn (4).png.  Su polinomio característico es CodeCogsEqn (8).png, cuyas raíces son CodeCogsEqn (6).png y CodeCogsEqn (7).png . Como CodeCogsEqn (9).png, la solución homogénea es:

CodeCogsEqn (10).png

  • Ahora vamos a hallar la solución particular. Sea CodeCogsEqn (11).png, donde CodeCogsEqn (12).png y CodeCogsEqn (13).png son las soluciones que hallamos anteriormente. Calculemos el Wronskiano:

CodeCogsEqn (14).png

  • Vemos que CodeCogsEqn (15).png, por lo tanto, usando el formulazo llegamos a:

CodeCogsEqn (16).png

CodeCogsEqn (17).png

  • Así, la solución particular queda como:

CodeCogsEqn (18).png

  • Sustituímos los valores de las raíces y llegamos a:

CodeCogsEqn (19).png

  • Para que se vea más bonita nuestra solución homogénea, podemos aplicar los resultados de la sección anterior:

CodeCogsEqn (20).png

  • Ahora sí, armamos nuestra solución general:

CodeCogsEqn (21).png

Series: Conociendo el Infinito

ApuntesDe

Dale Click para Verlo

¿Serie vs Sucesión? 

Esto es algo que no sabia pero resulta que en matemáticas cuando hablamos una colección de números estamos hablamos de una sucesión, pero cuando hablamos de sumarlos estamos hablando de una serie.

DEFINICIÓN 1:

Podemos definir una serie como: “La suma desde un n0 (generalmente el 0 ó el 1) hasta aproximarse al infinito”.

Esto lo podemos expresar visualmente como:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.33.15 a.m..png

Generalmente empieza en uno, pero tendrá sus excepciones



Sumas Parciales

Veamos otra forma de ver a las series, podemos pensar para ayudarlos a encontrarlas en otra sucesión, en una descrita por las “sumas parciales ” osea la suma los elementos de una sucesión, ahora podemos hablar de lo que significa una suma parcial, que no es mas que ir sumando poco a poco todos los elementos de una sucesión.

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.40.29 a.m.

Sucesión Generada por las Sumas Parciales

Las sumas parciales si te das cuenta CREAR OTRO SUCESION, la cual podemos como a cualquier otra sucesión buscar describir que es lo que pasa cuando se aproxima al infinito, al n-ésimo termino:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.40.35 a.m.

Sumas Parciales


Encontrar la Serie usando Sumas Parciales

Ahora veamos algo, algo muy MUY importante, estas dos cosas son SIEMPRE IGUALES:

  • El límite en el infinito de la Sucesión de Sumas Parciales de cierta Sucesión
  • La Serie de esa Sucesión

Es decir mas claramente si encontramos el limite de la sucesión de las sumas parciales (llamémoslo s)  entonces encontramos cuando vale la serie:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.54.09 a.m.

Si encontramos el límite de la sucesión de las sumas parciales

Donde S es:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.54.19 a.m.

Bingo, encontramos lo que queríamos.


Propiedades de las Series

Antes que seguir con más tener que recordar que las Series (siempre y cuando convergen, claro ) son un Operador Lineal, es decir:

  • Da lo mismo sacar la serie de cierta sucesión y al final multiplicarlo por un escalar, que multiplicar el escalar por cada elemento.
  • Da lo mismo sacar la serie de la suma de dos sucesiones que sumar la serie de cada uno de las series.

Esto lo podemos ver mas bonito así:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 7.25.11 a.m.

Es un Lindo Operador Lineal (siempre que converge)


Tipos de Series

Hay tantos tipos de Series que después de cierto tiempo empiezas a encontrar muchos patrones, veámoslos y veamos cuanto trabajos podemos ahorrarte ; )

Series Geométricas

Una series se dice que es geométrica si es que si divides dos términos consecutivos siempre obtendrás la MISMA CONSTANTE.

SerieGeometrica3

359px-GeometricSquares.svg

Ahora podemos ver que la serie de esta sucesión será:

SerieGeometrica1

Así se ven

Recuerda: Podemos saber facilmente si converge o no, solo basta con que |r| < 1 para estar seguros de que converge, donde podemos encontrar a que convege también muy fácil como:

SerieGeometrica2

Ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-18 a las 9.49.14 p.m.


Series P: La Madre de todas las Armónicas

Para empezar hay que recordar que hay una serie muy famosa que se conoce como la Serie Armónica:

SeriesP2

Un clásico

Podemos entonces hablar de las Series P, que es una generalización de las series armo- nicas, de la forma:

SeriesP1

Hola P, Soy una Serie P

Recuerda:

  • Cuando p ≤ 1 es la serie armónica (La cual diverge).
  • Y también podemos saber (por el criterio de la integral) que para cualquiera p > 1 la serie converge.

Series Telescópicas

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.18.33 p.m.

Las series telescópicas son muy lindas, para empezar lo que tenemos que hacer es ver que la Serie (Suma de todos los elementos de la Sucesión) tiene esta forma:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.18.22 p.m.

Sumas Parciales

Y si te das cuenta todo eso se cancela, menos dos elementos, por  lo podemos escribir así:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.21.33 p.m.

Sumas Parciales

Por lo tanto, SOLO CUANDO bn converga ENTONCES LA SERIE CONVERGE a algo entonces podemos concluir que la Suma o Serie es:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.18.43 p.m.


Series Alternantes

Son un tipo de serie muy especial en la cual el signo cambia con cada termino. Las lla- mamos como serie alternante porque sus terminos alternan entre positivos y negativos.

Podemos ver aquí que hay dos tipos de Series Alternantes:

  • Si empezamos con números positivos es del tipo:

Alternas3

  • Si empezamos con números negativos es del tipo:

Alternas2

Estimación de Series Alternantes

Una suma parcial de de cualquier serie convergente se puede usar como una aproximación a una suma total, pero no es muy utilizado, a menos que estime la exactitud de la aproximación.

Esto es de verdad muy útil con las Series Alternantes, supongamos una Serie conver- gente. Entonces podemos decir que nuestra estimación será:

Captura de pantalla 2017-05-22 a las 9.33.24 p.m.

Convergencia Absoluta 

Decimos que la serie Σan es Absolutamente Convergente si la serie  Σ|an|converge.

Si la serie Σan converge pero la serie Σ|an| diverge, decimos que la serie es Condicionalmente Convergente.

Teorema:

Si Σan es absolutamente convergente, entonces también es convergente.

El Teorema anterior es muy útil, ya que garantiza que una serie absolutamente conver- gente es convergente. Sin embargo, su recíproco no es necesariamente cierto: Las series que son Convergentes pueden o no ser Absolutamente Convergentes.


Series de Potencias

Una serie de potencias es una serie donde x es una variable y las cn son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada x establecida, la serie ya es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes.

Potencias2

Pero generalmente no es así como lo vemos, sino que tienen esta formula, donde se le conoce como serie de pontencia centrada en a, en (x − a) ó con respecto a a:

Potencias1

Repito, estas series son respecto a “dos variables”:

  • x es variable totalmente libre, como una chica francesa.
  • cn es un acrónimo para coloca aqui cualquier serie común, como el bn de las alternas.

 

Radio de Convergencia

Como puedes ver la x en las series de potencias es una incognita que puede valer cualquier número, así decimos que el Radio de Convergencia es el conjunto de todos los valores de x tales que se cumple que dicha serie converge. Ahora veamos como sacar dicho intervalo – conjunto:

  • Usa el Criterio de la Razón o de la Raíz como creas mas apropiado y despeja a x de tu resultado, obtendras una desigualdad o algo parecido.
  • Ya casi terminas, lo único que te falta es ver que pasa cuando el criterio que elegiste de 1 (pues recuerda que ambos criterios no te dicen nada si L = 1), así que a patita verifica que pasa en ambos límites del intervalo para saber que pasa en ambos extremos (si son cerrados o abiertos).

Obviamente para cualquier Serie de Potencias solo hay 3 posibilidades:

  • Solo converge cuando x − a
  • La serie converge siempre
  • Existe un número R tal que la serie converge si |x − a| < R

 


Criterios en Series

Pruebas de la Divergencia

Esta es muy clásica y es muy fácil primero hacer esta antes de hacer nada más:

Divergenica.png

Es decir, que si encuentras que el limite (en el infinito) de la sucesión es 0, puede o no que converge, pero si no es 0, ya ni no intentes xD.


Prueba de la Integral

Suponga que f es una función:

  • Continua
  • Positiva
  • Decreciente en [1, ∞)

y sea an = f(n)
Entonces este criterio nos dira que:

Captura de pantalla 2017-05-02 a las 12.59.56 p.m..png

Cuando use la prueba de la integral no es necesario iniciar la serie o la integral en n = 1.

Asimismo, no es necesario que f(x) sea siempre decreciente. Lo importante es que f(x) sea decreciente por último, es decir, decreciente para x más grande que algún número N.


Criterio de Comparación: Directa

Supón que an > 0 y que también bn > 0. Osea que ambos terminos siempre seran positivos. Entonces:

Comparacion.png

Naturalmente, al usar la prueba por comparación es necesario tener alguna serie co- nocida Σbn para los fines de la comparación. La mayor parte de las veces se usan las series:

  • Series P
  • Series Geométricas

Criterio de Comparación: Límites

Supón que an > 0 y que también bn > 0. Osea que ambos términos siempre serán positivos.

Entonces si:

Limites

(Donde obviamente L debe ser positivo y finito)
Si todo esto se cumple entonces alguna de las dos proposiciones deben ser verdad:

  • Ambas Σan y Σbn divergen.
  • Ambas Σan y Σbn convergen.

Criterio de Comparación: Razón

Sea una Σan una series de términos positivos, tal que:

Razon.png

  • L < 1 : La Serie es absolutamente convergente.
  • L > 1 ó L = ∞ : La Serie diverge.
  • L = 1 : No nos dirá nada (por ejemplo cualquier serie P nos dará 1)


Criterio de Comparación: Alternas

Podemos ver aquí que hay dos tipos de Series Alternantes:

  • Si empezamos con números positivos es del tipo:

Alternas3

  • Si empezamos con números negativos es del tipo:

Alternas2

Recuerda que nuestra serie es convergente si cumple con lo siguiente:

Alternas1

ApuntesDeLaura


Criterio de Comparación: Raíz

Sea una an el n-esímos sumando de una serie, veamos que pasa si hacemos esto:

raiz2

  • laL < 1 : La Serie es absolutamente convergente.
  • L > 1 ó L = ∞ : La Serie diverge.
  • L = 1 : No nos dirá nada

Ejemplo:

raiz1

 

 


Plan de Acción

  1. (Prueba de Divergencia) Verifica que el n-ésimo sea 0 cuando n tienda a infinito.
  2. Verifica si la que tienes es una Serie P ó Geométrica, si si ya sabes que hacer 😉
  3. (Comparación) Si se pacere a una Serie P o Geométrica, usa alguna de las de Comparación.
  4. (Convergencia Absoluta) Si quitando que sea alternante se vuelve algo como una P o Geométrica, intenta convergencia absoluta.
  5. (Criterio de Alternantes) Vea que si es alternante.
  6. (Razón) Si tienes Factoriales o Potencias, prueba con Razón.
  7. (Raíz) Si nada funciona, o tienes un termino elevado a la n, intenta la Raíz.
  8.  (Integrales) Si estás re muerto, intenta con Integrales.

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Secuencias en Cálculo

Definición

FORMAS 1:

Se puede considerar que una sucesión es una lista de números escritos en un orden definido:

a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .

FORMA 2:

Es una función en la que su dominio son los enteros positivos, (o los naturales ( pero sin el cero, que algunos ponen el cero ).


Formas de Expresar Sucesiones

Hay dos formas de escribirlas en notación matemática:

Forma de Recursión

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.02.23 a.m.

Forma General (o aún más pro)

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.11.44 a.m.

Veamos algunos ejemplos de esta ultima:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 8.17.20 p.m..png

Ahora si, vamos a lo que es interesante:


Límite de una Secuencia

El límite de una secuencia (a la que llamaremos {an} ) esta denotado por L (osea que le pondremos de nombre L, pues).

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.43.08 a.m..png

Si el límite existe entonces decimos que la secuencia “converge”, sino, decimos que “diverge”.

O la definición más formal:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.20.29 a.m..png

Cortesía de ProfRobBob

LBQNdKVLQTTAL276dCbVBE31

ProfRobBob

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.41.51 p.m..png

Ve como esta secuencia se va aproximando en …


Propiedades de los Límites

Hay que recordar que como otros operadores, los limites son operadores lineales, es decir que conservan la suma de elementos y la multiplicación por un escalar:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.28.15 p.m.

Esto es un Operador Lineal

Algunas otras propiedades:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.28.32 p.m.

Las mas conocidas

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.29.43 p.m.

Las menos conocidas


Encontrarlo usando Funciones

Podemos ocupar lo que ya sabemos para las funciones con las secuencias para hacer nuestra vida mas sencillas:

Imagine que encuentras una función f(x) tal que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.47.30 p.m.

Donde esta función sea muy especial pues para cada n que se entero se cumple que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.47.46 p.m.

Entonces podemos afirmar de manera muy segura que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.48.15 p.m.


Regla del Gran L’Hôpital’s

Este regla dice que si le estas sacando el límite con respecto a c (donde c puede ser un número cualquiera o bien el infinito o el menos infinito) a una RAZÓN de dos funciones, que si la evaluar de manera directa legas a alguna de estas indeterminaciones:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.10.19 a.m.

Límites que son candidatas para Hopital

También se suele decir que para que sea candidato a L’Hôpital’s, la derivada de su denominador debe ser Diferente de cero.

De ser así puedes aplicar el siguiente teorema super bonito (y útil):

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.10.27 a.m.

(En el caso de que sus derivadas vuelvan a ser una indeterminación como las de arriba, no se te olvide que podemos aplicar esta regla de manera recursiva hasta que nos de algo maldita sea!)

Veamos un ejemplo rápido:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.33.47 a.m..png


Cotas de una Sucesión

Antes que anda tienes que admitir que este es el teorema con el nombre mas cool.

Antes que nada tenemos que definir que es una cota:

  • Una cota inferior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por debajo (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.
  • Una cota superior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por arriba  (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.
Captura de pantalla 2017-04-04 a las 8.11.05 a.m.

Diagrama que intenta explicar esto

Ahora podemos decir que esto pasa (Es un teorema):

  • Si una sucesión tiene cota superior tiene una mínima cota superior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas pequeña,  la que casi toca a la secuencia).
  • Si una sucesión tiene cota inferior tiene una máxima cota inferior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas grande, la que casi toca a la secuencia).

Teorema de Acotación:

Decimos que una secuencia esta acotada cuando tiene una cota superior e inferior.


Sucesiones Monótonas

Veamos dos tipos de secuencias:

Crecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.58.43 p.m.

Decrecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.58.52 p.m.

Una secuencia es monotona cuando es cualquiera de las dos.

Teorema Auxiliar

“Siempre que una sucesión sea monótona y este acotada tiene siempre convergerá a algo”


Teorema del Apachurramiento

El teorema del apachurramiento nos dice los siguiente:

  • Supongamos 3 secuencias, a, b, y c tal que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.44.17 p.m.

Que cumplan estas características

  • Ahora supongamos que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.47.43 p.m.

Encontramos que … 😀

  • Entonces podemos concluir que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.47.58 p.m.

Bingo


Teorema Raro

Otro teorema que te puede ayudar es este:

Supongamos que encontremos que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.59.33 p.m.

Entonces si encontramos una f queso ea continua en L, podemos afirmar que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.59.43 p.m.

Veamos un ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.03.03 a.m..png

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Sólidos de Revolución

Existen muchísimas formas de resolver esta clase de problemas, así que veamos unas cuantas de ellas:

Discos

Como así lo dice hay que hacer un disco infinitesimal delgado e integrarlo.

Giros sobre el “Eje X”

solidos2

Diagrama

solidos1

Formula General

Giros sobre el Eje Y

solido1

Diagrama

solido2

Fórmulas


Shell – Cascarones/Casquillos

Este método es muy utilizado para hacer girar sobre un “Eje Y”

Nuestro elemento diferencial de volumen es un casquillo que va aumentando de radio, y muy muy delgado, así integramos a lo largo del Eje X.

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Diagrama

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Fórmula

¿Cuál usar cuando?

  • Usa Discos para girar en el Eje X
  • Usa Cascarones para girar en el Eje Y

 

 


Giro del Área entre dos curvas

Discos 2.0-Arancelas: Giro con respecto al “Eje X” (y=c)

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Diagrama

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Fórmula

 

 

Cascarones 2.0: Giro con respecto al “Eje Y” (x=c)

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Diagrama

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Fórmula

 


¿Quieres olvidarte de los Métodos y solo las fórmulas?

 

Yo también, así que apoyándome  en KristaKing, les paso el siguiente formulario:

captura-de-pantalla-2017-03-04-a-las-7-57-32-p-m

 

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.57.17 p.m..png

 

 

 

 

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Áreas y Longitudes de Arco

Aproximaciones de Áreas

Sumas de Riemann

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann (da!) para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Estas se basan en dividir tu curva en muchos fragmentos o rectángulos iguales, cuya base mide dx, o Delta X y cuya altura es la valuar la función en ese punto.

Donde n es el número de pedazos a dividir.

Riemann_sum_convergence.png

Forma Gráfica

 

Formas de Hacerlo:

Paso común:

Encuentra la longitud de la base usando la siguiente fórmula:

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Usando la Izquierda

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3

 


Usando la Derecha

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4

 

 


Usando el Intermedio

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5

 


Usando Trapecios

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Recuerda que estamos usando trapecios, así que podemos usar esta fórmula:

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captura-de-pantalla-2017-02-08-a-las-7-47-43-a-m

Así que podemos simplificar a esto (confía en mi, 100% seguro):

captura-de-pantalla-2017-02-08-a-las-8-00-53-a-m

 


Forma de Simpson

…Creéme a todos nos cuesta entender porque funciona esto.

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Longitud de Arco

 

longitud1

Diagrama

 

Podemos deducir la fórmula con este diagrama de manera muy fácil:

longitud1

longitud2

Fórmula para Longitud de Arco

 


Áreas Superficiales  

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.25.18 p.m..png

Para una F(x) sobre Eje X

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.26.29 p.m..png

Para una F(x) sobre el Eje Y

 

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Para una F(y) sobre el Eje X

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.26.49 p.m..png

Para una F(y) sobre el Eje Y

 


Áreas 

La aplicación mas intuitiva de las integrales son la de haya el área bajo la curva, de hecho esta muy ligado a su definición:

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Métodos de Integración

Resulta que integrar no es tan fácil como parece, pero hay algunas técnicas que pueden ayudarte


Cambio de Variable

Sustitución de U

Se trata de reescribir toda la integral en términos de una nueva variable, generalmente una letra que nadie usaría de forma normal : U, es decir:

  • Se sustituye X en términos de U
  • dx en términos de du

cambio

Recuerda:

No pongas límite (en caso de tenerlo) hasta terminar de Integral

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Integral por Partes

¿De donde sale la fórmula? Esto es de verdad muy útil de saberlo, veamos:

por-partes

Ahora viene la pregunta del millón:

¿Cuál es U y cual dV?

sus


Sustitución Trigonométrica

La forma más sencilla es aprenderse esta tabla y tenerla a la mano por cualquier cosa:

Sustitucion.png

Construir el triángulo

  • Despejar la función trigonométrica del cambio de variable.
  • Con esto se obtiene 2 lados y el último es el tipo de sustitución trigonométrica, se puede comprobar con Pitágoras.

Fracciones Parciales

Bienvenidos al tema más estúpidamente largo de esta materia, pero no te preocupes, todo estará bien.

El primer paso es ver como es ver si debemos dividir la expresión o no, para hacerlo, basta con ver el grado de los polinomios:

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Para saber que hacer ve el grado

Para Factorizar Q(x) haremos esto:

discos3

discos1

 

 

 

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Integrales: Solucionario


Integral como Operador Lineal:

Recuerda que la derivada es un operador Lineal:

  • Conserva la Suma de Funciones:

Da lo mismo sacar la integral de una suma de funciones que sumar la integral de ambas funciones.

  • Conserva la Multiplicación por un Escalar:

Da lo mismo sacar la integral de una una función por una escalar que multiplicar la integral de esa función por el escalar.

Es decir visualmente como:

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 6.49.30 p.m.

Visualmente


Las Que Debes Conocer

 

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 6.49.56 p.m.

Las más básicas

 

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 6.50.16 p.m.

Las Exponenciales

 

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 8.27.30 p.m.

Las Trigonométricas

 

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 8.27.47 p.m.

Las reciprocas

 

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 8.28.15 p.m.

Las endemoniadamente útiles

 


Las Raras… Simplemente raras

Están será útiles … pero raras :

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 8.47.33 p.m.

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 8.47.49 p.m.

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 8.49.25 p.m.

 

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