Dale Click para Verlo

¿Serie vs Sucesión? 

Esto es algo que no sabia pero resulta que en matemáticas cuando hablamos una colección de números estamos hablamos de una sucesión, pero cuando hablamos de sumarlos estamos hablando de una serie.

DEFINICIÓN 1:

Podemos definir una serie como: «La suma desde un n0 (generalmente el 0 ó el 1) hasta aproximarse al infinito».

Esto lo podemos expresar visualmente como:

Generalmente empieza en uno, pero tendrá sus excepciones

Sumas Parciales

Veamos otra forma de ver a las series, podemos pensar para ayudarlos a encontrarlas en otra sucesión, en una descrita por las «sumas parciales » osea la suma los elementos de una sucesión, ahora podemos hablar de lo que significa una suma parcial, que no es mas que ir sumando poco a poco todos los elementos de una sucesión.

Sucesión Generada por las Sumas Parciales

Las sumas parciales si te das cuenta CREAR OTRO SUCESION, la cual podemos como a cualquier otra sucesión buscar describir que es lo que pasa cuando se aproxima al infinito, al n-ésimo termino:

Sumas Parciales

Encontrar la Serie usando Sumas Parciales

Ahora veamos algo, algo muy MUY importante, estas dos cosas son SIEMPRE IGUALES:

• El límite en el infinito de la Sucesión de Sumas Parciales de cierta Sucesión
• La Serie de esa Sucesión

Es decir mas claramente si encontramos el limite de la sucesión de las sumas parciales (llamémoslo s)  entonces encontramos cuando vale la serie:

Si encontramos el límite de la sucesión de las sumas parciales

Donde S es:

Bingo, encontramos lo que queríamos.

Propiedades de las Series

Antes que seguir con más tener que recordar que las Series (siempre y cuando convergen, claro ) son un Operador Lineal, es decir:

• Da lo mismo sacar la serie de cierta sucesión y al final multiplicarlo por un escalar, que multiplicar el escalar por cada elemento.

• Da lo mismo sacar la serie de la suma de dos sucesiones que sumar la serie de cada uno de las series.

Esto lo podemos ver mas bonito así:

Es un Lindo Operador Lineal (siempre que converge)

Tipos de Series

Hay tantos tipos de Series que después de cierto tiempo empiezas a encontrar muchos patrones, veámoslos y veamos cuanto trabajos podemos ahorrarte ; )

Series Geométricas

Una series se dice que es geométrica si es que si divides dos términos consecutivos siempre obtendrás la MISMA CONSTANTE.

Ahora podemos ver que la serie de esta sucesión será:

Así se ven

Ejemplo:

Series P: La Madre de todas las Armónicas

Para empezar hay que recordar que hay una serie muy famosa que se conoce como la Serie Armónica:

Un clásico

Podemos entonces hablar de las Series P, que es una generalización de las series armo- nicas, de la forma:

Hola P, Soy una Serie P

Series Telescópicas

Las series telescópicas son muy lindas, para empezar lo que tenemos que hacer es ver que la Serie (Suma de todos los elementos de la Sucesión) tiene esta forma:

Sumas Parciales

Y si te das cuenta todo eso se cancela, menos dos elementos, por  lo podemos escribir así:

Sumas Parciales

Por lo tanto, SOLO CUANDO bn converga ENTONCES LA SERIE CONVERGE a algo entonces podemos concluir que la Suma o Serie es:

Series Alternantes

Estimación de Series Alternantes

Convergencia Absoluta 

Pruebas de la Divergencia

Es decir, que si encuentras que el limite (en el infinito) de la sucesión es 0, puede o no que converge, pero si no es 0, ya ni no intentes xD.

Prueba de la Integral

Criterio de Comparación: Directa

Criterio de Comparación: Límites

Criterio de Comparación: Razón

Criterio de Comparación: Alternas

Recuerda que nuestra serie es convergente si cumple con lo siguiente:

Criterio de Comparación: Raíz

Ejemplo:

Plan de Acción

1. (Prueba de Divergencia) Verifica que el n-ésimo sea 0 cuando n tienda a infinito.
2. Verifica si la que tienes es una Serie P ó Geométrica, si si ya sabes que hacer 😉
3. (Comparación) Si se pacere a una Serie P o Geométrica, usa alguna de las de Comparación.
4. (Convergencia Absoluta) Si quitando que sea alternante se vuelve algo como una P o Geométrica, intenta convergencia absoluta.
5. (Criterio de Alternantes) Vea que si es alternante.
6. (Razón) Si tienes Factoriales o Potencias, prueba con Razón.
7. (Raíz) Si nada funciona, o tienes un termino elevado a la n, intenta la Raíz.
8.  (Integrales) Si estás re muerto, intenta con Integrales.

Definición

FORMAS 1:

FORMA 2:

Es una función en la que su dominio son los enteros positivos, (o los naturales ( pero sin el cero, que algunos ponen el cero ).

Formas de Expresar Sucesiones

Hay dos formas de escribirlas en notación matemática:

Forma de Recursión

Forma General (o aún más pro)

Veamos algunos ejemplos de esta ultima:

Ahora si, vamos a lo que es interesante:

Límite de una Secuencia

El límite de una secuencia (a la que llamaremos {an} ) esta denotado por L (osea que le pondremos de nombre L, pues).

Si el límite existe entonces decimos que la secuencia «converge», sino, decimos que «diverge».

O la definición más formal:

Cortesía de ProfRobBob

ProfRobBob

Ve como esta secuencia se va aproximando en …

Propiedades de los Límites

Hay que recordar que como otros operadores, los limites son operadores lineales, es decir que conservan la suma de elementos y la multiplicación por un escalar:

Esto es un Operador Lineal

Algunas otras propiedades:

Las mas conocidas

Las menos conocidas

Encontrarlo usando Funciones

Podemos ocupar lo que ya sabemos para las funciones con las secuencias para hacer nuestra vida mas sencillas:

Imagine que encuentras una función f(x) tal que:

Donde esta función sea muy especial pues para cada n que se entero se cumple que:

Entonces podemos afirmar de manera muy segura que:

Regla del Gran L’Hôpital’s

Este regla dice que si le estas sacando el límite con respecto a c (donde c puede ser un número cualquiera o bien el infinito o el menos infinito) a una RAZÓN de dos funciones, que si la evaluar de manera directa legas a alguna de estas indeterminaciones:

Límites que son candidatas para Hopital

También se suele decir que para que sea candidato a L’Hôpital’s, la derivada de su denominador debe ser Diferente de cero.

De ser así puedes aplicar el siguiente teorema super bonito (y útil):

(En el caso de que sus derivadas vuelvan a ser una indeterminación como las de arriba, no se te olvide que podemos aplicar esta regla de manera recursiva hasta que nos de algo maldita sea!)

Veamos un ejemplo rápido:

Cotas de una Sucesión

Antes que anda tienes que admitir que este es el teorema con el nombre mas cool.

Antes que nada tenemos que definir que es una cota:

• Una cota inferior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por debajo (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.

• Una cota superior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por arriba  (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.

Diagrama que intenta explicar esto

Ahora podemos decir que esto pasa (Es un teorema):

• Si una sucesión tiene cota superior tiene una mínima cota superior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas pequeña,  la que casi toca a la secuencia).

• Si una sucesión tiene cota inferior tiene una máxima cota inferior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas grande, la que casi toca a la secuencia).

Teorema de Acotación:

Decimos que una secuencia esta acotada cuando tiene una cota superior e inferior.

Sucesiones Monótonas

Veamos dos tipos de secuencias:

Crecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Decrecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Una secuencia es monotona cuando es cualquiera de las dos.

Teorema Auxiliar

«Siempre que una sucesión sea monótona y este acotada tiene siempre convergerá a algo»

Teorema del Apachurramiento

El teorema del apachurramiento nos dice los siguiente:

• Supongamos 3 secuencias, a, b, y c tal que:

Que cumplan estas características

• Ahora supongamos que:

Encontramos que … 😀

• Entonces podemos concluir que:

Bingo

Teorema Raro

Otro teorema que te puede ayudar es este:

Supongamos que encontremos que:

Entonces si encontramos una f queso ea continua en L, podemos afirmar que:

Veamos un ejemplo:

Existen muchísimas formas de resolver esta clase de problemas, así que veamos unas cuantas de ellas:

Discos

Como así lo dice hay que hacer un disco infinitesimal delgado e integrarlo.

Giros sobre el «Eje X»

Diagrama

Formula General

Giros sobre el Eje Y

Diagrama

Fórmulas

Shell – Cascarones/Casquillos

Este método es muy utilizado para hacer girar sobre un «Eje Y»

Nuestro elemento diferencial de volumen es un casquillo que va aumentando de radio, y muy muy delgado, así integramos a lo largo del Eje X.

Diagrama

Fórmula

¿Cuál usar cuando?

• Usa Discos para girar en el Eje X
• Usa Cascarones para girar en el Eje Y

Giro del Área entre dos curvas

Discos 2.0-Arancelas: Giro con respecto al «Eje X» (y=c)

Diagrama

Fórmula

Cascarones 2.0: Giro con respecto al «Eje Y» (x=c)

Diagrama

Fórmula

¿Quieres olvidarte de los Métodos y solo las fórmulas?

Yo también, así que apoyándome  en KristaKing, les paso el siguiente formulario:

Aproximaciones de Áreas

Sumas de Riemann

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann (da!) para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Estas se basan en dividir tu curva en muchos fragmentos o rectángulos iguales, cuya base mide dx, o Delta X y cuya altura es la valuar la función en ese punto.

Donde n es el número de pedazos a dividir.

Forma Gráfica

Formas de Hacerlo:

Paso común:

Encuentra la longitud de la base usando la siguiente fórmula:

Usando la Izquierda

Usando la Derecha

Usando el Intermedio

Usando Trapecios

Recuerda que estamos usando trapecios, así que podemos usar esta fórmula:

Así que podemos simplificar a esto (confía en mi, 100% seguro):

Forma de Simpson

…Creéme a todos nos cuesta entender porque funciona esto.

Longitud de Arco

Diagrama

Podemos deducir la fórmula con este diagrama de manera muy fácil:

Fórmula para Longitud de Arco

Áreas Superficiales  

Para una F(x) sobre Eje X

Para una F(x) sobre el Eje Y

Para una F(y) sobre el Eje X

Para una F(y) sobre el Eje Y

Áreas 

La aplicación mas intuitiva de las integrales son la de haya el área bajo la curva, de hecho esta muy ligado a su definición:

Cambio de una Función: Derivada

Imaginate la siguiente función.

Si alguien malvado te preguntará (alguien malvado…) ¿Dónde esta el punto máximo en esa función?

Tenemos varias opciones:

• Podemos tabular algunos valores hasta encontrar uno que creamos que sea el máximo (o mínimo).
• Podemos graficar y empezar a tantear por donde esta el máximo.
• Llorar, llorar siempre es una opción.

…O ser inteligente y usar el calculo para encontrar la respuesta:

*Tu función debería ser continua en el intervalo en el que estés pensando para que lo que vaya a decir tenga sentido…digo, sino no tiene sentido nada de lo que digo.*

Función Creciente y Decreciente

• Si la derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función esta creciendo en x.

• Si la derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función esta decreciendo en x.

Puntos Críticos

Podemos definir entonces que los puntos críticos de nuestra función son cuando:

• Nuestra primera derivada es cero (es decir, no crece ni decrece).

• Nuestra primera esta indeterminada.

Gracias a lo que vimos podemos sacar la derivada y obtener muchas respuestas:

Como que de la última formula podemos saber que la función:

•  Siempre va a crecer desde -1 a 0 y desde el 2 al infinito.
• Siempre va a decrecer desde el menos infinito hasta el -1 y también desde 0 hasta 2.

Concavidad: Segunda Derivada

Así como la primera derivada nos muestra sobre como va la función, si crece o decrece, la segunda derivada, nos habla de como cambian esos aumentos y reducciones.

Esto se conoce en matemáticas como Concavidad.

Tipos de Concavidad (Palabrería)

Puntos importantes en la Gráfica

Concavidad Hacia Arriba / Abajo

• Si la segunda derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia arriba.

• Si la segunda derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia abajo.

• Punto de Inflexión: Podemos decir entonces que un punto de inflexión es cuando la concavidad de la función cambia.

Teorema de Fermat (quien sabe cual sea)

Si una función f(x) tiene un máximo o mínimo cuando x = c, entonces x = c es también un punto crítico.

Máximos y Mínimos (Receta de Cocina):

Así que si queremos encontrar los máximos o mínimos:

1. Calcular los puntos críticos, es decir derivar f(x)  
2. f’(x) =0 , es decir Igualar a 0 la 1° Derivada
3. Resolver la ecuación (que salir del paso 2) y obtener las raíces
4. Calcular la segunda derivada
5. Sustituir las raíces en la 2° derivada y comparar resultados

• Si Resultado < 0 Máximo
• Si Resultado > 0 Mínimo

Puedes acceder al texto original, si le picas en PDF:

Texto de Referencia

Dado una función de f(x), tenemos dos diferenciales, y estos guardan una relación muy importante, recuerda que tenemos dos notaciones para la derivada:

Esto nos dice algo super genial: La derivada no es más que la razón entre dos diferenciales.

Así que gracias a esto podemos sacar la relación entre estas diferenciales, por ejemplo para la diferencial de y:

Veamos algunos ejemplos:

Diferenciales y Margen de Error

Ahora podemos ocupar los diferenciales para encontrar errores:

Ejemplos de Aplicaciones

Esfera: Una esfera fue medida y su radio es de 21 u con un error posible máximo de 0.05 u. Calcula el posible error máximo.