Máximos, Mínimos y Concavidad

Cambio de una Función: Derivada

Imaginate la siguiente función.

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 9.21.25 a.m.

Si alguien malvado te preguntará (alguien malvado…) ¿Dónde esta el punto máximo en esa función?

Tenemos varias opciones:

  • Podemos tabular algunos valores hasta encontrar uno que creamos que sea el máximo (o mínimo).
  • Podemos graficar y empezar a tantear por donde esta el máximo.
  • Llorar, llorar siempre es una opción.

…O ser inteligente y usar el calculo para encontrar la respuesta:

*Tu función debería ser continua en el intervalo en el que estés pensando para que lo que vaya a decir tenga sentido…digo, sino no tiene sentido nada de lo que digo.*


Función Creciente y Decreciente

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 2.13.57 p.m..png

  • Si la derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función esta creciendo en x.
  • Si la derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función esta decreciendo en x.

 

Puntos Críticos

Podemos definir entonces que los puntos críticos de nuestra función son cuando:

  • Nuestra primera derivada es cero (es decir, no crece ni decrece).
  • Nuestra primera esta indeterminada.

 

Gracias a lo que vimos podemos sacar la derivada y obtener muchas respuestas:

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 7.27.02 p.m.

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 7.27.17 p.m.

Como que de la última formula podemos saber que la función:

  •  Siempre va a crecer desde -1 a 0 y desde el 2 al infinito.
  • Siempre va a decrecer desde el menos infinito hasta el -1 y también desde 0 hasta 2.


Concavidad: Segunda Derivada

Así como la primera derivada nos muestra sobre como va la función, si crece o decrece, la segunda derivada, nos habla de como cambian esos aumentos y reducciones.

Esto se conoce en matemáticas como Concavidad.

concavidad-convexidad-segmento

Tipos de Concavidad (Palabrería)

Untitled drawing.png

Puntos importantes en la Gráfica

Concavidad Hacia Arriba / Abajo

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 2.17.40 p.m..png

  • Si la segunda derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia arriba.
  • Si la segunda derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia abajo.
  • Punto de Inflexión: Podemos decir entonces que un punto de inflexión es cuando la concavidad de la función cambia.

Teorema de Fermat (quien sabe cual sea)

Si una función f(x) tiene un máximo o mínimo cuando x = c, entonces x = c es también un punto crítico.

Máximos y Mínimos (Receta de Cocina):

Así que si queremos encontrar los máximos o mínimos:

  1. Calcular los puntos críticos, es decir derivar f(x)  
  2. f’(x) =0 , es decir Igualar a 0 la 1° Derivada
  3. Resolver la ecuación (que salir del paso 2) y obtener las raíces
  4. Calcular la segunda derivada
  5. Sustituir las raíces en la 2° derivada y comparar resultados
  • Si Resultado < 0 Máximo
  • Si Resultado > 0 Mínimo

 

 

btn

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s