Cambio de una Función: Derivada

Imaginate la siguiente función.

Si alguien malvado te preguntará (alguien malvado…) ¿Dónde esta el punto máximo en esa función?

Tenemos varias opciones:

• Podemos tabular algunos valores hasta encontrar uno que creamos que sea el máximo (o mínimo).
• Podemos graficar y empezar a tantear por donde esta el máximo.
• Llorar, llorar siempre es una opción.

…O ser inteligente y usar el calculo para encontrar la respuesta:

*Tu función debería ser continua en el intervalo en el que estés pensando para que lo que vaya a decir tenga sentido…digo, sino no tiene sentido nada de lo que digo.*

---

Función Creciente y Decreciente

• Si la derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función esta creciendo en x.

• Si la derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función esta decreciendo en x.

 

Puntos Críticos

Podemos definir entonces que los puntos críticos de nuestra función son cuando:

• Nuestra primera derivada es cero (es decir, no crece ni decrece).

• Nuestra primera esta indeterminada.

 

Gracias a lo que vimos podemos sacar la derivada y obtener muchas respuestas:

Como que de la última formula podemos saber que la función:

•  Siempre va a crecer desde -1 a 0 y desde el 2 al infinito.
• Siempre va a decrecer desde el menos infinito hasta el -1 y también desde 0 hasta 2.

---

Concavidad: Segunda Derivada

Así como la primera derivada nos muestra sobre como va la función, si crece o decrece, la segunda derivada, nos habla de como cambian esos aumentos y reducciones.

Esto se conoce en matemáticas como Concavidad.

Concavidad Hacia Arriba / Abajo

• Si la segunda derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia arriba.

• Si la segunda derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia abajo.

• Punto de Inflexión: Podemos decir entonces que un punto de inflexión es cuando la concavidad de la función cambia.

Teorema de Fermat (quien sabe cual sea)

Si una función f(x) tiene un máximo o mínimo cuando x = c, entonces x = c es también un punto crítico.

Máximos y Mínimos (Receta de Cocina):

Así que si queremos encontrar los máximos o mínimos:

1. Calcular los puntos críticos, es decir derivar f(x)  
2. f’(x) =0 , es decir Igualar a 0 la 1° Derivada
3. Resolver la ecuación (que salir del paso 2) y obtener las raíces
4. Calcular la segunda derivada
5. Sustituir las raíces en la 2° derivada y comparar resultados

• Si Resultado < 0 Máximo
• Si Resultado > 0 Mínimo