Definición

FORMAS 1:

FORMA 2:

Es una función en la que su dominio son los enteros positivos, (o los naturales ( pero sin el cero, que algunos ponen el cero ).

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Formas de Expresar Sucesiones

Hay dos formas de escribirlas en notación matemática:

Forma de Recursión

Forma General (o aún más pro)

Veamos algunos ejemplos de esta ultima:

Ahora si, vamos a lo que es interesante:

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Límite de una Secuencia

El límite de una secuencia (a la que llamaremos {an} ) esta denotado por L (osea que le pondremos de nombre L, pues).

Si el límite existe entonces decimos que la secuencia «converge», sino, decimos que «diverge».

O la definición más formal:

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Propiedades de los Límites

Hay que recordar que como otros operadores, los limites son operadores lineales, es decir que conservan la suma de elementos y la multiplicación por un escalar:

Algunas otras propiedades:

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Encontrarlo usando Funciones

Podemos ocupar lo que ya sabemos para las funciones con las secuencias para hacer nuestra vida mas sencillas:

Imagine que encuentras una función f(x) tal que:

Donde esta función sea muy especial pues para cada n que se entero se cumple que:

Entonces podemos afirmar de manera muy segura que:

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Regla del Gran L’Hôpital’s

Este regla dice que si le estas sacando el límite con respecto a c (donde c puede ser un número cualquiera o bien el infinito o el menos infinito) a una RAZÓN de dos funciones, que si la evaluar de manera directa legas a alguna de estas indeterminaciones:

También se suele decir que para que sea candidato a L’Hôpital’s, la derivada de su denominador debe ser Diferente de cero.

De ser así puedes aplicar el siguiente teorema super bonito (y útil):

(En el caso de que sus derivadas vuelvan a ser una indeterminación como las de arriba, no se te olvide que podemos aplicar esta regla de manera recursiva hasta que nos de algo maldita sea!)

Veamos un ejemplo rápido:

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Cotas de una Sucesión

Antes que anda tienes que admitir que este es el teorema con el nombre mas cool.

Antes que nada tenemos que definir que es una cota:

• Una cota inferior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por debajo (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.

• Una cota superior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por arriba  (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.

Ahora podemos decir que esto pasa (Es un teorema):

• Si una sucesión tiene cota superior tiene una mínima cota superior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas pequeña,  la que casi toca a la secuencia).

• Si una sucesión tiene cota inferior tiene una máxima cota inferior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas grande, la que casi toca a la secuencia).

Teorema de Acotación:

Decimos que una secuencia esta acotada cuando tiene una cota superior e inferior.

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Sucesiones Monótonas

Veamos dos tipos de secuencias:

Crecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Decrecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Una secuencia es monotona cuando es cualquiera de las dos.

Teorema Auxiliar

«Siempre que una sucesión sea monótona y este acotada tiene siempre convergerá a algo»

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Teorema del Apachurramiento

El teorema del apachurramiento nos dice los siguiente:

• Supongamos 3 secuencias, a, b, y c tal que:

• Ahora supongamos que:

• Entonces podemos concluir que:

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Teorema Raro

Otro teorema que te puede ayudar es este:

Supongamos que encontremos que:

Entonces si encontramos una f queso ea continua en L, podemos afirmar que:

Veamos un ejemplo: