Secuencias en Cálculo

Definición

FORMAS 1:

Se puede considerar que una sucesión es una lista de números escritos en un orden definido:

a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .

FORMA 2:

Es una función en la que su dominio son los enteros positivos, (o los naturales ( pero sin el cero, que algunos ponen el cero ).


Formas de Expresar Sucesiones

Hay dos formas de escribirlas en notación matemática:

Forma de Recursión

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.02.23 a.m.

Forma General (o aún más pro)

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.11.44 a.m.

Veamos algunos ejemplos de esta ultima:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 8.17.20 p.m..png

Ahora si, vamos a lo que es interesante:


Límite de una Secuencia

El límite de una secuencia (a la que llamaremos {an} ) esta denotado por L (osea que le pondremos de nombre L, pues).

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.43.08 a.m..png

Si el límite existe entonces decimos que la secuencia “converge”, sino, decimos que “diverge”.

O la definición más formal:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.20.29 a.m..png

Cortesía de ProfRobBob

LBQNdKVLQTTAL276dCbVBE31

ProfRobBob

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.41.51 p.m..png

Ve como esta secuencia se va aproximando en …


Propiedades de los Límites

Hay que recordar que como otros operadores, los limites son operadores lineales, es decir que conservan la suma de elementos y la multiplicación por un escalar:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.28.15 p.m.

Esto es un Operador Lineal

Algunas otras propiedades:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.28.32 p.m.

Las mas conocidas

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.29.43 p.m.

Las menos conocidas


Encontrarlo usando Funciones

Podemos ocupar lo que ya sabemos para las funciones con las secuencias para hacer nuestra vida mas sencillas:

Imagine que encuentras una función f(x) tal que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.47.30 p.m.

Donde esta función sea muy especial pues para cada n que se entero se cumple que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.47.46 p.m.

Entonces podemos afirmar de manera muy segura que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.48.15 p.m.


Regla del Gran L’Hôpital’s

Este regla dice que si le estas sacando el límite con respecto a c (donde c puede ser un número cualquiera o bien el infinito o el menos infinito) a una RAZÓN de dos funciones, que si la evaluar de manera directa legas a alguna de estas indeterminaciones:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.10.19 a.m.

Límites que son candidatas para Hopital

También se suele decir que para que sea candidato a L’Hôpital’s, la derivada de su denominador debe ser Diferente de cero.

De ser así puedes aplicar el siguiente teorema super bonito (y útil):

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.10.27 a.m.

(En el caso de que sus derivadas vuelvan a ser una indeterminación como las de arriba, no se te olvide que podemos aplicar esta regla de manera recursiva hasta que nos de algo maldita sea!)

Veamos un ejemplo rápido:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.33.47 a.m..png


Cotas de una Sucesión

Antes que anda tienes que admitir que este es el teorema con el nombre mas cool.

Antes que nada tenemos que definir que es una cota:

  • Una cota inferior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por debajo (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.
  • Una cota superior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por arriba  (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.
Captura de pantalla 2017-04-04 a las 8.11.05 a.m.

Diagrama que intenta explicar esto

Ahora podemos decir que esto pasa (Es un teorema):

  • Si una sucesión tiene cota superior tiene una mínima cota superior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas pequeña,  la que casi toca a la secuencia).
  • Si una sucesión tiene cota inferior tiene una máxima cota inferior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas grande, la que casi toca a la secuencia).

Teorema de Acotación:

Decimos que una secuencia esta acotada cuando tiene una cota superior e inferior.


Sucesiones Monótonas

Veamos dos tipos de secuencias:

Crecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.58.43 p.m.

Decrecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.58.52 p.m.

Una secuencia es monotona cuando es cualquiera de las dos.

Teorema Auxiliar

“Siempre que una sucesión sea monótona y este acotada tiene siempre convergerá a algo”


Teorema del Apachurramiento

El teorema del apachurramiento nos dice los siguiente:

  • Supongamos 3 secuencias, a, b, y c tal que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.44.17 p.m.

Que cumplan estas características

  • Ahora supongamos que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.47.43 p.m.

Encontramos que … 😀

  • Entonces podemos concluir que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.47.58 p.m.

Bingo


Teorema Raro

Otro teorema que te puede ayudar es este:

Supongamos que encontremos que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.59.33 p.m.

Entonces si encontramos una f queso ea continua en L, podemos afirmar que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.59.43 p.m.

Veamos un ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.03.03 a.m..png

btn

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s