Todo lo que necesitas saber de las Derivadas

Antes que nada (y para que no me coman antes de nada), las demostraciones de todo lo que estoy diciendo están abajo, pero ahora empecemos por lo bueno, las formulas:

¡Recordemos que es la Derivada!

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Ahora y antes de seguir, tienes que saber que hay muchas, muchas maneras de escribir esta operación… muchas:

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Antes que nada supón esto …

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Las mil y un derivadas (Formas del Operador Derivada)


Derivada como Operador Lineal:

Recuerda que la derivada es un operador Lineal:

  • Conserva la Suma de Funciones:

Da lo mismo sacar la derivada de una suma de funciones que sumar la derivada de ambas funciones.

  • Conserva la Multiplicación por un Escalar:

Da lo mismo sacar la derivada de una una función por una escalar que multiplicar la derivada de esa función por el escalar.

Es decir visualmente como:

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 3.14.21 p.m..png

Esto siempre se conserva


Las de Kinder

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 8.57.53 p.m.

Las de memoria

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 8.59.54 p.m.

Las clásicas

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.00.03 p.m.

Una interesante pero no conocida


Funciones

Recuerda esta “simplificación” para que sea mas sencillo:

Captura de pantalla 2017-04-13 a las 3.01.14 p.m..png

Simplificaciones

Los Clásicos de las Funciones

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.04.32 p.m.

Suma (O Resta) de Funciones

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.04.37 p.m.

Producto de Funciones

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.04.41 p.m.

División de Funciones


Regla de la Cadena (La reglas más útil para ti)

Forma 1:

Repite después de mi: “La derivada de la composición de dos funciones es igual a: La derivada de la primera función evaluada en la segunda multiplicada por la derivada de la segunda“.

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Esta Formula es como tu Biblia

Aquí hay un par de cosas que me gustaría contarles:

  • La mitad de las dificultades de esta formula esta en encontrar que tu expresión rara se puede expresar como una composición de funciones.
  • Recuerda que la ultima parte, esa función interna ( g(x) ) puede ser también una composición de funciones, así que esta formula cambie puede ser recursiva.

Forma 2:

Se puede derivar una función más compleja si se usa una variable intermedia y luego se multiplica por la derivada de dicha variable.

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.04.18 p.m.


Usando esta regla sabremos que:

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.05.19 p.m.

Potencias de Funciones

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.05.25 p.m.

Raíces de Funciones

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.05.30 p.m.

Raíces

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Exponenciales

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Logaritmos


Trigonométricas

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Básicas

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Las reciprocas

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Las inversas 😀

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Las inversas de las reciprocas (que complejo suena eso D:)

 

 

 

 

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¿De dónde sale la Derivada?

La derivada es la herramienta fundamental del Cálculo Diferencial y se puede ver de dos maneras:


Interpretación Geométrica

Consiste en encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica en cualquier punto.

Las rectas secantes tienden mientras nuestro rango sea más pequeños volverse una recta tangente.

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Derivada

Su fórmula original y oficial es la siguiente:

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 8.51.09 p.m.


Ecuación de la Recta Tangente

Después de encontrar la derivada, podemos ya encontrar una ecuación que nos muestra cual es la recta tanguee te en cualquier punto de la función:

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Esto describe la recta tangente


Notaciones de la Derivada

Hay muchas formas de describir como son las derivadas, desde las de Newton o las demás:

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Las mil y un derivadas (Formas del Operador Derivada)


Interpretación Física

Una derivada es un ritmo de cambio

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Teorema del Punto Medio

Dentro de un intervalo (a,b) existe un punto C tal que su recta tangente tiene la misma pendiente que la recta que une ambos límites del intervalo.

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Funciones

 

“Cuando asignamos un valor a X la variable Y adquiere un único valor,  se dice que tal relación es una función”.

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En donde:

  • Y dependiente
  • X independiente
  • Y es función de X
  • Y depende de X
  • Y es el nombre de la variable

Dominio de la Función

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Conjunto de valores que adquiere la variable independiente (X), para los cuales la dependiente (Y) es un número real.

Por lo tanto que una función esté definida en los Reales significa que al asignar un valor a X la variable dependiente (Y)  no debe presentar ninguna de las siguientes.

Indeterminación

  • 0/0
  • K/0
  • Infinito
  • Raíz negativa

Intervalo

Contradominio, Rango y Recorrido, Imagen

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Es el conjunto de valores que adquiere la función.

Es muy fácil poder despejar la variable Y y calcular su dominio.


Valuar una Función

Para el estudio de una función es necesario conocer qué valor toma la función para un determinado valores de X ya sea # o literal.

Funciones Explícitas

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

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Funciones Implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

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Operaciones

El dominio de estas operaciones es la intersección del dominio de f(x) y g(x)

Excepto en el cociente donde es la intersección de ambos y donde g(x) ≠0  

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Prueba de la Línea Vertical

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Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez.


Funciones Famosas

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Traslación de Funciones

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Translación

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Alargamiento y Reflexión

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Simetría

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Funciones Trascendental

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Exponenciales

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  • Los puntos (0,1) y (1,a) siempre existen
  • Crece si a > 1
  • Decrece si a < 1

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Logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
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Trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

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Función Recíproca

La función recíproca o inversa de f , son como:

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Para obtener la ecuación hay que despejar a la variable x


Función Inversa

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La función recíproca o inversa de es otra función  son como:

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Funciones Racionales

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Dominio: Son todos los reales menos cuando g(x) = 0

Raíces: Son cuando h(x)=0


Asíntotas

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funciones4

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