Ecuaciones de Orden Superior Variación de Parámetros

Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales que no son de primer orden, es decir en las que tenemos involucradas segundas, terceras, etc.. derivadas.

Estas se complican más pero curiosamente son más mecánicas (y por lo tanto para mucha gente más sencillas).

A continuación se presentan varias formas de solucionarlas:


 Homogéneas

(Órden 2)

Recordemos, que a una ecuación la llamemos Homogénea cuando esta igualada a cero. 

Nota: Para empezar a explicar estas ideas usaré de base que estamos trabajando una ecuación de grado dos, al final del articulo contaré como subir a ordenes superiores.

Estas son las más sencillas de todas, incluso mucho más que varias de primer orden incluso. Veamos, una ecuación diferencial lineal de orden 2 homogénea la podemos escribir así:

PASO 1: La Ecuación Original

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.06.39 p.m.

Ecuación Original: Así recibimos el problema

PASO 2: Encontremos las soluciones del Polinomio Característico 

A cada ecuación tenemos un “polinomio característico” que podemos escribir así:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.06.44 p.m.

Este es el polinomio que tenemos que igualar a cero para encontrar raíces

Esto nos da mucha información, la parte interesante de todo esto es encontrar sus raíces, así que antes de seguir, veamos varias técnicas que quizá te ayuden a encontrar las soluciones a dicho polinomio.

Recuerda: Encontrar las raíces de un polinomio no es mas que igualo a cero y encontrar todos los valores de r que cumplen dicha igualdad.

Quizá Ayude: Raíces Cuadradas de Complejos

Supongamos que llegamos a un punto en el que tenemos que encontrar la raíz cuadrada de un número complejo…

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.39.22 p.m.

Podemos hacer un poco de Álgebra y ver que para encontrar estos valores, solo tenemos que hacer un sistema de ecuaciones:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.33.19 p.m.

Pero lo más fácil siempre es la formula directa, aquí la tienes:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.29.36 p.m.

Fórmula Super Pro

PASO 3: Armar las Phi’s

La respuesta de nuestra ecuación tendrá muchas partes, cada una de ellas las denotamos con la letra phi , cada phi esta relacionada a una raíz, por eso era necesario sacarlas, ahora, sin mas veamos como quedan las phi:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.41.04 p.m.

Formulazo (Supon r son las raíces del polinomio)

PASO 4 – FINAL: Armar la Solución “Homogénea”

La solución homogénea es bastante sencilla de encontrar con TODO LO QUE YA SABEMOS , ya que todas las soluciones tienen esta forma:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.06.49 p.m.

Esta es la solución a nuestro problema : `)

Ejemplo:

Veamos un ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.32.41 p.m..png


Generalización de Homogéneas

Incluso podemos encontrar una solución mas general en la que para una ecuación de n grado, encontramos su polinomio asociado, y sacamos las raíces.

Supongamos que tenemos una raíz de multiplicidad m (osea que se esta raíz se repite m veces), entonces para esa pura raíz tendríamos m phi’s asociadas a ella, cada una de la forma:

Captura de pantalla 2017-03-30 a las 9.26.10 p.m.

Donde k varía de 0 a m-1, y r es la raíz repetida.


Homogéneas: Caso Especial – Raíces Complejas

En estos casos podemos hacer más cosas, así que veamos que pasa en este caso especial: Vamos a simplificar esto aún más, imaginate que tenemos la siguiente expresión:

PASO 1: La Ecuación Original

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.53.43 p.m.

Donde las a’s son dos números reales cualquiera

PASO 2: Raíces

Ahora supongamos que las raíces del polinomio característico:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 9.51.29 p.m.

Veamos como encontrar esas misteriosas alfa y beta:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.26.15 p.m..png

Y ya solo de formulazo tenemos que:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.19.41 p.m..png

PASO 3 – 4: Armar las Phi’s 

Nota: Euler

Para entender estohay que saber antes las que consideramos las identidades de Euler:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 4.54.16 p.m..png

Euler Rocks papu!

Usando lo que ya sabemos si que podemos llegar a saber de donde salió la Formula Re Util:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 5.07.32 p.m..png

No olvides que d2 es imaginario : )

PASO 4: La Solución

Ahora podemos saber que ver que cualquier solución de escribe de la siguiente fórmula:

Captura de pantalla 2017-03-31 a las 10.00.41 p.m.

Formula Re útil


Variación de Parámetros: Constantes

(Órden 2)

Nota: Dependencia Lineal

Antes que ver los pasos tenemos que saber algunas cosas:

Dos funciones definidas en un invervalo, son linealmente dependientes en I, si existen dos constantes (diferentes de cero) tal que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 12.50.38 p.m..png

Y esto se cumple para todas las x dentro de ese intervalo.

Nota: Independencia Lineal

Dos funciones definidas en un intervalo, son linealmente dependientes en I, si las únicas dos constantes que cumplen para todas las x dentro del intervalo que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 12.50.38 p.m..png

Son (redoble de tambores) que ambas constantes son cero.

Notas: Wronskiano

Dos soluciones de phi1 y phi2 de L(y)=0 son linealmente independientes en Intervalo si y solo si lo siguiente es distinto de cero:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 12.56.07 p.m..png

Por ejemplo si suponemos que las raíces son diferentes podemos hacer este formulazo:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.12.42 a.m..png

Formulazo para cuando las raíces son diferentes : ‘ )

Para todas las x en el intervalo existe algo llamado Wronskiano de phi1 y phi2.

Si phi1 y phi2 son solucion de L(y) = 0 sobre algun intervalo, contiene un punto Xo, entonces:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.01.45 p.m.

Ejemplo de sacar un Wronskiano:

Veamos si estas dos funciones son dependientes:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.07.22 p.m..png

Como ves, son independientes.

PASO 1: La Ecuación Original

Considera la seguinte ecuación que se parece mucho a lo que acabamos de hacer:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.10.59 p.m.

Ecuación Original

PASO 1.1: Entender como irá la Solución

Podemos re bautizar a lo que habidos hecho con las ecuaciones homogéneas, para que veas que la solución a LA ECUACIÓN QUE ACABO DE PONER bien esta fórmula:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.22.50 a.m..png

O visto de otra manera queremos esto:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.16.42 p.m.

Otra forma de ver la solución

PASO 2.0: Encuentra la Parte Homogénea

Y recuerda la solución de la parte homogénea ya sabemos como sacarla

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.11.02 p.m.

Esta es la parte homogénea

Así que ahora iguala tu ecuación original a cero y ve a encontrar tu solución como si fuera una ecuación homogénea de las de arriba, orale!

PASO 2.0.1: ENTENDER  la Parte  NO Homogénea

Ahora lo que queremos es encontrar una solución tal que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.16.28 p.m..png

Solución que cumpla con esto

Ahora solo queda expandir un poco lo que acabamos de decir:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.24.00 p.m..png

Derivadas

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 1.24.07 p.m.

Evaluando la función

Bueno, de la expresión terriblemente larga de arriba podemos deducir que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 2.01.56 p.m.

Finalmente podemos saber ya que:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 2.02.03 p.m.

De forma diferencial

PASO 2.1: Encontrar las U’s

Y esas u’s salen de:

Captura de pantalla 2017-04-03 a las 2.02.31 p.m.

Formulazo

PASO 2.2: Armar la Parte Particular de la Solución

Esta parte tendrá la siguiente forma:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.16.38 p.m.

PASO 3: Armar la Solución Final

Recuerda, ya solo tiene que escribir tu solución, ya tienes ambas partes :

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.22.50 a.m..png

O visto de otra manera queremos esto:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 9.16.42 p.m.

Otra forma de ver la solución

Notas: Ejemplo de este Tipo

Resolvamos la ecuación diferencial CodeCogsEqn (3).png:

  • Primero hallemos la solución asociada a la ecuación homogénea CodeCogsEqn (4).png.  Su polinomio característico es CodeCogsEqn (8).png, cuyas raíces son CodeCogsEqn (6).png y CodeCogsEqn (7).png . Como CodeCogsEqn (9).png, la solución homogénea es:

CodeCogsEqn (10).png

  • Ahora vamos a hallar la solución particular. Sea CodeCogsEqn (11).png, donde CodeCogsEqn (12).png y CodeCogsEqn (13).png son las soluciones que hallamos anteriormente. Calculemos el Wronskiano:

CodeCogsEqn (14).png

  • Vemos que CodeCogsEqn (15).png, por lo tanto, usando el formulazo llegamos a:

CodeCogsEqn (16).png

CodeCogsEqn (17).png

  • Así, la solución particular queda como:

CodeCogsEqn (18).png

  • Sustituímos los valores de las raíces y llegamos a:

CodeCogsEqn (19).png

  • Para que se vea más bonita nuestra solución homogénea, podemos aplicar los resultados de la sección anterior:

CodeCogsEqn (20).png

  • Ahora sí, armamos nuestra solución general:

CodeCogsEqn (21).png

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