Teoremas de Integrales

Teorema de la Divergencia de Gauss

Suponga que V es el volumen limitado por una superficie cerrada S y que A es una función vectorial  de posición con derivadas continuas, donde n es la normal positiva (dirigida hacia fuera) a S.

Entonces:

guass

Ejemplo:

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Teorema de la Stokes

Suponga que S es una superficie abierta, de dos lados, limitada por una curva C cerrada que no se interseca a sí misma (curva simple cerrada), y suponga que A es una función vectorial de posición con derivadas continuas.

Entonces:

stokes

 Ejemplo:

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Teorema de Green

Suponga que R es una región cerrada en el plano xy, limitada por una curva simple cerrada, C, y que M y N son funciones continuas de x y y que tienen derivadas continuas en R. Entonces:

green

Donde C se recorre en la dirección positiva (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).

Ejemplo :

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…. Y listo ¡Has dominado todos, y digo TODOS los temas de Análisis Vectorial.

¡Eres genial!

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Integrales de Línea, Superficie y Volúmen

Integral de Línea

Aquí está, ahora mismo se ve bastante como las demás, ¿no es así?

Tú tranquilo, ya verás como todo se pone peor : )

integrales

Curva Cerrada

Si C es una curva cerrada (que supondremos es una curva cerrada simple, es decir, una curva que no se intersecta consigo misma en ningún punto), es frecuente denotar la integral alrededor de C.

curva.png

Aquí un ejemplo:

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Integrales Dobles

superficial

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.

normal

Al realizar una “integral triple” de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración.


Integral de Superficie

Sea S una superficie de dos lados.Un lado de S se considera de manera arbitraria como el positivo (si S es una superficie cerrada, como una esfera, entonces el lado exterior se toma como el positivo).

superficie

Una normal unitaria, n, a cualquier punto del lado positivo de S se llama normal unitaria positiva o dirigida hacia fuera.

Asociemos con la diferencial de la superficie, dS, un vector dS de magnitud dS y cuya dirección es la de n. Entonces, dS = ndS. La integral

Podemos denotar en el plano XY como:

ejemplos

Aquí un ejemplo:

Ejemplo 1:

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Ejemplo 2:

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Integral de Volumen

Considere una superficie cerrada en el espacio que encierra un volumen V. Entonces, las integrales de volumen o integrales espaciales, se denotan como sigue:

volumen

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¿Se ve difícil? Es hora de hacerlo más fácil… ¡Con los teoremas de Integrales!

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La Integración Vectorial

Introducción

Todos una vez que sabemos estas cosas solemos decir que la integrales son mucho más difíciles que las derivadas, pero con vectores ¡Ja!, es mucho más.

Así que sin más es hora de empezar:

funcion.png

Sea un vector que depende de una sola variable escalar, u, donde se supone  que todas sus componentes son continuas en un intervalo específico.

Entonces las integrales son bastantes sencillas:

integral.png

Ejemplo:

ejemplo.png

Y ya, esto podría decirse que es la parte fácil, pues lo bueno viene ahora, cuando llegamos a la partes especial que tienen las integrales aquí, que pueden ser de línea, superficie o volumen...Así que pónganse los cinturones que se acaba de terminar lo lindo:

Acompañame a:

Integrales de Línea, Superficie y Volúmen

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Campos Escalares y Vectoriales

¿Qué son los campos?

En física, un campo representa la distribución  de “algo” es decir, es una propiedad que puede medirse en el entorno de cada punto de una región del espacio para cada instante del tiempo.

Matemáticamente, los campos se representan mediante una función definida sobre una cierta región. Gráficamente, se suelen representar mediante líneas o superficies de igual magnitud.


Campos Escalares

campo

En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física.

campo2.png

Un campo escalar es una función que a cada punto del espacio le asigna un valor de una magnitud escalar, definida por un número (su magnitud) con su signo, y su unidad.

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región en el espacio le corresponde un número (escalar) Φ(x, y, z). Entonces Φ se denomina función escalar de posición, y decimos que se ha definido un campo escalar Φ.

Ejemplo: Φ(x, y, z)= 3x-2y+z


Curvas de Nivel

Son simplemente como se ve ese campo con con cierto parámetro estable, hay varios muy famosos, aquí se los dejo:

circuloeq

circulo

Círculo


eq0

hiperbola.png

Hipérbola


eq10

cn

paraboloide


eq13

cn2

Paraboloide Hiperbólico


eq3

cn3.png

Hiperboloide


Derivada del Campo Escalar

derivada.png


Campos Vectorial

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región en el espacio, le corresponde un vector V(x, y, z). Entonces V se llama función vectorial de posición, y decimos que se ha definido un campo vectorial V.

Ejemplo: V(x, y, z)= (3x+2)i+(2z)j+(y+3x)z

vectorial.png

 


Campo Conservativo

Es un campo vectorial bastante especial, te contaré los requisitos para que tu campo vectorial sea conservativo:

  1. Su rotacional es cero.

¡Listo!

Si lo anterior es cierto, entonces existe un campo escalar tal que:

conservativo

Entonces podemos decir que el campo escalar contiene toda la información del campo original, también lo llamamos CAMPO POTENCIAL.

Y podemos definir 2 características que te serán muy útiles en el futuro:

  • La integral es independiente de la trayectoria.

con2.png

  • La integral cerrada siempre será cero, sin importar la trayectoria.

con1


 

 

Ahora es hora de que vamos a la guerra si o si, vamos por las Integrales ¡Corre!

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Laplaciano ∇ ·∇f: De escalar a escalar

…espera ¿qué? ¿Còmo que de escalar a escalar?¿Qué sentido tiene eso?

Si, y es que la divergencia del gradiente de una función escalar tiene un nombre en especial y se llama Laplaciano.

Es sencillo de entender, es solo:

laplaciano

Y ya, si, sé que creíste que sería más difícil, pero a veces las cosas son más sencillas de lo que parecen.

Así que toma a una tortuga a cambio.

Art016.jpg

¡Wiii!

Ahora es hora de lo bueno, INTEGRACIÓN VECTORIAL…

SI ¡VAMOS, QUE EMPIECE LA GUERRA!

(o también puedes empezar despacio por aprender de los campos)

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Rotacional ∇ × V: De Vector a Vector

Antes que todo volvamos a definir otro campo vectorial bien bonito (en este caso que sea diferenciable en todos los puntos):

funcion-vectorial

Entonces, el rotacional  se denota se define como :

rotacional-mini

Del mismo modo también se puede expresar en la forma de un determinante:
rotacional-formula

El concepto de rotacional es similar al de divergencia en el sentido de que proporciona información acerca del campo vectorial, pero se trata de una información diferente y algo más difícil de visualizar.

Dicho fatal, ∇× V nos da una idea de la turbulencia del agua en ese punto; dicho un poco menos mal, indica hacia dónde y cómo de rápido giraría una pelota sumergida en ese punto de la bañera.

rotacional 2.png

∇ × V = 0 Quiere decir que no gira la pelota hipotética.

Esto es conocido como un campo irrotacional, y que un campo cumpla esta condición lo convierte en un campo conservativo.

Si ponemos la pelota en cualquier punto de la región izquierda, pasará lo mismo de antes, y si la ponemos en la región derecha, pero ¿qué pasa si la ponemos justo en el borde entre ambos flujos de agua? ¡Ah, ahí la cosa cambia!

rotacional.png

La pelota recibe agua en un sentido por su izquierda, y agua en sentido contrario por su derecha, de modo que –si no es absolutamente lisa, y en nuestra analogía no lo es porque lo digo yo– la pelota girará. En esa línea de frontera entre ambas regiones, el rotacional no es cero. De modo que aquí sí, podemos decir si gira mucho o poco y hacia dónde.

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Divergencia ∇ ·V: De Vector a escalar

Antes que todo definamos un campo vectorial bien bonito (en este caso que sea diferenciable en todos los puntos)

funcion-vectorial

Ahora sí, las preguntas de siempre:

  • ¿A qué “cosa” puedo sacarle la divergencia? A una función vectorial. 
  • ¿Qué significa sacar la divergencia? Es una operación en la que tu obtienes un escalar (un número pues) iniciando con una función vectorial.
  • ¿Cómo? Así.

divergencia.png

Y si, así de fácil es sacar la divergencia, ¿ves que no son más que unas cuantas formulitas?

Aquí un ejemplo:

¿Qué significa el resultado de esta operación?

La divergencia de un campo vectorial cualquiera, nos dice dónde “nacen” y “mueren” las líneas de campo y cómo de intenso es el proceso de “nacimiento” o “muerte” de las líneas.

Imaginemos nuestro campo vectorial como una bañera, y los vectores como las dirección en la que se mueve el agua, con esta pequeña analogía podemos llegar muy lejos, pues:

Al calcular la divergencia como al calcular la de cualquier vector, sólo pueden pasar una de tres cosas:

  • Si ∇ · V = 0, eso significa que ninguna línea de campo «muere» en el entorno de este punto y ninguna línea de campo «nace». Dicho de otro modo, toda línea que entra en el entorno de este punto sale otra vez de él, y toda línea que sale de aquí entró antes.

vector

  • Si ∇ · V > 0 (si la divergencia es Positiva) eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto nacen líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, eso significa que del entorno del punto (del círculo) salen más líneas de las que entraron. Cuanto más grande sea el número positivo, más líneas «nacen», es decir, más intenso es el flujo de agua saliendo del círculo.

vector2.png

  • Si ∇ · V eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto mueren líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, esto significa que en el entorno del punto entran más líneas de las que salen. Una vez más, cuanto más pequeño sea el número negativo, más líneas «mueren», es decir, más intenso es el flujo entrante.

vector3

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