Teoremas de Integrales

Teorema de la Divergencia de Gauss

Suponga que V es el volumen limitado por una superficie cerrada S y que A es una función vectorial  de posición con derivadas continuas, donde n es la normal positiva (dirigida hacia fuera) a S.

Entonces:

guass

Ejemplo:

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Teorema de la Stokes

Suponga que S es una superficie abierta, de dos lados, limitada por una curva C cerrada que no se interseca a sí misma (curva simple cerrada), y suponga que A es una función vectorial de posición con derivadas continuas.

Entonces:

stokes

 Ejemplo:

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Teorema de Green

Suponga que R es una región cerrada en el plano xy, limitada por una curva simple cerrada, C, y que M y N son funciones continuas de x y y que tienen derivadas continuas en R. Entonces:

green

Donde C se recorre en la dirección positiva (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).

Ejemplo :

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…. Y listo ¡Has dominado todos, y digo TODOS los temas de Análisis Vectorial.

¡Eres genial!

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Integrales de Línea, Superficie y Volúmen

Integral de Línea

Aquí está, ahora mismo se ve bastante como las demás, ¿no es así?

Tú tranquilo, ya verás como todo se pone peor : )

integrales

Curva Cerrada

Si C es una curva cerrada (que supondremos es una curva cerrada simple, es decir, una curva que no se intersecta consigo misma en ningún punto), es frecuente denotar la integral alrededor de C.

curva.png

Aquí un ejemplo:

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Integrales Dobles

superficial

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.

normal

Al realizar una “integral triple” de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración.


Integral de Superficie

Sea S una superficie de dos lados.Un lado de S se considera de manera arbitraria como el positivo (si S es una superficie cerrada, como una esfera, entonces el lado exterior se toma como el positivo).

superficie

Una normal unitaria, n, a cualquier punto del lado positivo de S se llama normal unitaria positiva o dirigida hacia fuera.

Asociemos con la diferencial de la superficie, dS, un vector dS de magnitud dS y cuya dirección es la de n. Entonces, dS = ndS. La integral

Podemos denotar en el plano XY como:

ejemplos

Aquí un ejemplo:

Ejemplo 1:

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Ejemplo 2:

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Integral de Volumen

Considere una superficie cerrada en el espacio que encierra un volumen V. Entonces, las integrales de volumen o integrales espaciales, se denotan como sigue:

volumen

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¿Se ve difícil? Es hora de hacerlo más fácil… ¡Con los teoremas de Integrales!

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La Integración Vectorial

Introducción

Todos una vez que sabemos estas cosas solemos decir que la integrales son mucho más difíciles que las derivadas, pero con vectores ¡Ja!, es mucho más.

Así que sin más es hora de empezar:

funcion.png

Sea un vector que depende de una sola variable escalar, u, donde se supone  que todas sus componentes son continuas en un intervalo específico.

Entonces las integrales son bastantes sencillas:

integral.png

Ejemplo:

ejemplo.png

Y ya, esto podría decirse que es la parte fácil, pues lo bueno viene ahora, cuando llegamos a la partes especial que tienen las integrales aquí, que pueden ser de línea, superficie o volumen...Así que pónganse los cinturones que se acaba de terminar lo lindo:

Acompañame a:

Integrales de Línea, Superficie y Volúmen

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Campos Escalares y Vectoriales

¿Qué son los campos?

En física, un campo representa la distribución  de “algo” es decir, es una propiedad que puede medirse en el entorno de cada punto de una región del espacio para cada instante del tiempo.

Matemáticamente, los campos se representan mediante una función definida sobre una cierta región. Gráficamente, se suelen representar mediante líneas o superficies de igual magnitud.


Campos Escalares

campo

En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física.

campo2.png

Un campo escalar es una función que a cada punto del espacio le asigna un valor de una magnitud escalar, definida por un número (su magnitud) con su signo, y su unidad.

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región en el espacio le corresponde un número (escalar) Φ(x, y, z). Entonces Φ se denomina función escalar de posición, y decimos que se ha definido un campo escalar Φ.

Ejemplo: Φ(x, y, z)= 3x-2y+z


Curvas de Nivel

Son simplemente como se ve ese campo con con cierto parámetro estable, hay varios muy famosos, aquí se los dejo:

circuloeq

circulo

Círculo


eq0

hiperbola.png

Hipérbola


eq10

cn

paraboloide


eq13

cn2

Paraboloide Hiperbólico


eq3

cn3.png

Hiperboloide


Derivada del Campo Escalar

derivada.png


Campos Vectorial

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región en el espacio, le corresponde un vector V(x, y, z). Entonces V se llama función vectorial de posición, y decimos que se ha definido un campo vectorial V.

Ejemplo: V(x, y, z)= (3x+2)i+(2z)j+(y+3x)z

vectorial.png

 


Campo Conservativo

Es un campo vectorial bastante especial, te contaré los requisitos para que tu campo vectorial sea conservativo:

  1. Su rotacional es cero.

¡Listo!

Si lo anterior es cierto, entonces existe un campo escalar tal que:

conservativo

Entonces podemos decir que el campo escalar contiene toda la información del campo original, también lo llamamos CAMPO POTENCIAL.

Y podemos definir 2 características que te serán muy útiles en el futuro:

  • La integral es independiente de la trayectoria.

con2.png

  • La integral cerrada siempre será cero, sin importar la trayectoria.

con1


 

 

Ahora es hora de que vamos a la guerra si o si, vamos por las Integrales ¡Corre!

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Laplaciano ∇ ·∇f: De escalar a escalar

…espera ¿qué? ¿Còmo que de escalar a escalar?¿Qué sentido tiene eso?

Si, y es que la divergencia del gradiente de una función escalar tiene un nombre en especial y se llama Laplaciano.

Es sencillo de entender, es solo:

laplaciano

Y ya, si, sé que creíste que sería más difícil, pero a veces las cosas son más sencillas de lo que parecen.

Así que toma a una tortuga a cambio.

Art016.jpg

¡Wiii!

Ahora es hora de lo bueno, INTEGRACIÓN VECTORIAL…

SI ¡VAMOS, QUE EMPIECE LA GUERRA!

(o también puedes empezar despacio por aprender de los campos)

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Rotacional ∇ × V: De Vector a Vector

Antes que todo volvamos a definir otro campo vectorial bien bonito (en este caso que sea diferenciable en todos los puntos):

funcion-vectorial

Entonces, el rotacional  se denota se define como :

rotacional-mini

Del mismo modo también se puede expresar en la forma de un determinante:
rotacional-formula

El concepto de rotacional es similar al de divergencia en el sentido de que proporciona información acerca del campo vectorial, pero se trata de una información diferente y algo más difícil de visualizar.

Dicho fatal, ∇× V nos da una idea de la turbulencia del agua en ese punto; dicho un poco menos mal, indica hacia dónde y cómo de rápido giraría una pelota sumergida en ese punto de la bañera.

rotacional 2.png

∇ × V = 0 Quiere decir que no gira la pelota hipotética.

Esto es conocido como un campo irrotacional, y que un campo cumpla esta condición lo convierte en un campo conservativo.

Si ponemos la pelota en cualquier punto de la región izquierda, pasará lo mismo de antes, y si la ponemos en la región derecha, pero ¿qué pasa si la ponemos justo en el borde entre ambos flujos de agua? ¡Ah, ahí la cosa cambia!

rotacional.png

La pelota recibe agua en un sentido por su izquierda, y agua en sentido contrario por su derecha, de modo que –si no es absolutamente lisa, y en nuestra analogía no lo es porque lo digo yo– la pelota girará. En esa línea de frontera entre ambas regiones, el rotacional no es cero. De modo que aquí sí, podemos decir si gira mucho o poco y hacia dónde.

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Divergencia ∇ ·V: De Vector a escalar

Antes que todo definamos un campo vectorial bien bonito (en este caso que sea diferenciable en todos los puntos)

funcion-vectorial

Ahora sí, las preguntas de siempre:

  • ¿A qué “cosa” puedo sacarle la divergencia? A una función vectorial. 
  • ¿Qué significa sacar la divergencia? Es una operación en la que tu obtienes un escalar (un número pues) iniciando con una función vectorial.
  • ¿Cómo? Así.

divergencia.png

Y si, así de fácil es sacar la divergencia, ¿ves que no son más que unas cuantas formulitas?

Aquí un ejemplo:

¿Qué significa el resultado de esta operación?

La divergencia de un campo vectorial cualquiera, nos dice dónde “nacen” y “mueren” las líneas de campo y cómo de intenso es el proceso de “nacimiento” o “muerte” de las líneas.

Imaginemos nuestro campo vectorial como una bañera, y los vectores como las dirección en la que se mueve el agua, con esta pequeña analogía podemos llegar muy lejos, pues:

Al calcular la divergencia como al calcular la de cualquier vector, sólo pueden pasar una de tres cosas:

  • Si ∇ · V = 0, eso significa que ninguna línea de campo «muere» en el entorno de este punto y ninguna línea de campo «nace». Dicho de otro modo, toda línea que entra en el entorno de este punto sale otra vez de él, y toda línea que sale de aquí entró antes.

vector

  • Si ∇ · V > 0 (si la divergencia es Positiva) eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto nacen líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, eso significa que del entorno del punto (del círculo) salen más líneas de las que entraron. Cuanto más grande sea el número positivo, más líneas «nacen», es decir, más intenso es el flujo de agua saliendo del círculo.

vector2.png

  • Si ∇ · V eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto mueren líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, esto significa que en el entorno del punto entran más líneas de las que salen. Una vez más, cuanto más pequeño sea el número negativo, más líneas «mueren», es decir, más intenso es el flujo entrante.

vector3

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Gradiente ∇Φ: De Escalar a Vector

∇Φ

La gradiente es la primera operación diferencial vectorial que veremos (vaya que eso suena complejo, pero no te preocupes).

Pero vamos, ¿Qué significa sacar la gradiente? ¿A qué “cosa” puedo sacarle la gradiente?

Preguntas muy buenas Timmy, y también fáciles de responder:

  • ¿A qué “cosa” puedo sacarle la gradiente? A una función escalar. (Las de toda la vida pues).
  • ¿Qué significa sacar la gradiente? Es una operación en la que tu obtienes una función vectorial iniciando con una función escalar.
  • ¿Cómo? Así.

gradiente

Ok, ok, eso fue un cambio brusco, veamos si ahora que ya vieron la fórmula, la definición formal se ve más fácil de entender.

“El gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo.”

  • Observa que la gradiente de un campo escalar ∇Φ define un campo vectorial
  • De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando.

Aquí un ejemplo:


Derivada Direccional

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

derivada-direccional


Vector Normal a Superficie

Otro truco con la gradiente es que si tenemos una superficie como esta:

campo

Esto gradiente-icono es un vector perpendicular a la superficie , donde c es una constante.

Y eso, eso es todo amigos, ahora es hora de ver la siguiente operación vectorial, la divergencia.

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Operador Nabla

Salve Dios Nabla

Este símbolo triangular aparentemente básico se llama nabla.

Se trata de un operador matemático que puede tomar parte en diversas operaciones vectoriales. (Osea que los matemáticos usan este símbolo para representar muchas operaciones dependiendo del contexto, de la misma manera que tú y yo usamos la palabra banco).

Nabla es un operador matemático muy versátil, que puede aplicarse a números normales y corrientes (como la temperatura en distintos puntos de una habitación) o a vectores (como nuestro famoso campo eléctrico), y es capaz de proporcionar información muy interesante sobre ellos.

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

nabla

Este operador vectorial posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. Es útil para definir tres cantidades que aparecen en ciertas aplicaciones y que se conoce como gradiente, divergencia y rotacional.

Fin de la Lección.

Si, tenemos un problema, y es que tanto nabla como la gradiente, rotacional y la divergencia son temas muy rápidos y cortos, pero todos juntos serían estúpidamente largos, así que espero que el lector me perdone.

Así que empecemos con los temas:

Da click en el tema que quieras ver

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Funciones y Derivación Vectoriales

Funciones

Siempre me ha gustado la idea de las funciones como cajas negras, usando esa idea una función vectorial no es más que una caja negra en la que tu metes uno o más números reales y obtienes del otro lado un vector.

funciones.jpg

¡Y ya!

Eso es todo….bueno, casi todo.

Bueno, otra forma de verlo es así:

funcion

¿Bonito, no? Pues sí, pero si quieres expresar tu función vectorial así tendrás que hacer un paso más, algo que será común hacer hasta el final. Parametrizar.


Parametrización y Funciones Paramétricas

Funciones Parámetricas: Son las funciones que describe como se mueve la partícula a lo largo de un eje del espacio y que dependen de un SOLO parámetro.

O un poco más aburrido:

” Este sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro”.

graph.png

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles.

Así que..bueno, esto de parametrizar será un poco más difícil de lo que se veía.

Pero bueno, no importa, veamos que podemos avanzar mientras vamos viendo como parametrizar.


Derivación de Funciones Parametrizadas

Ahora, gracias a nuestro querido Schaum podemos empezar a Derivar

Primero usaremos a  A, B y C como funciones vectoriales diferenciables,  un parámetro u, y que Φ es una función escalar. Entonces se cumplen las leyes siguientes:

¡Y ya!

shaum

Formulas Basicas

Bueno, casí, porque ahora es momento de ver al Dios de esta materia.

El Bendito y todo poderoso Operador Nabla.

Da click aquí para descubrir y adorar al bendito Operador Nabla.

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