Integral de Línea

Aquí está, ahora mismo se ve bastante como las demás, ¿no es así?

Tú tranquilo, ya verás como todo se pone peor : )

Curva Cerrada

Si C es una curva cerrada (que supondremos es una curva cerrada simple, es decir, una curva que no se intersecta consigo misma en ningún punto), es frecuente denotar la integral alrededor de C.

Aquí un ejemplo:

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Integrales Dobles

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.

Al realizar una «integral triple» de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración.

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Integral de Superficie

Sea S una superficie de dos lados.Un lado de S se considera de manera arbitraria como el positivo (si S es una superficie cerrada, como una esfera, entonces el lado exterior se toma como el positivo).

Una normal unitaria, n, a cualquier punto del lado positivo de S se llama normal unitaria positiva o dirigida hacia fuera.

Asociemos con la diferencial de la superficie, dS, un vector dS de magnitud dS y cuya dirección es la de n. Entonces, dS = ndS. La integral

Podemos denotar en el plano XY como:

Aquí un ejemplo:

Ejemplo 1:

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Ejemplo 2:

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Integral de Volumen

Considere una superficie cerrada en el espacio que encierra un volumen V. Entonces, las integrales de volumen o integrales espaciales, se denotan como sigue:

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¿Se ve difícil? Es hora de hacerlo más fácil… ¡Con los teoremas de Integrales!

Introducción

Todos una vez que sabemos estas cosas solemos decir que la integrales son mucho más difíciles que las derivadas, pero con vectores ¡Ja!, es mucho más.

Así que sin más es hora de empezar:

Sea un vector que depende de una sola variable escalar, u, donde se supone  que todas sus componentes son continuas en un intervalo específico.

Entonces las integrales son bastantes sencillas:

Ejemplo:

Y ya, esto podría decirse que es la parte fácil, pues lo bueno viene ahora, cuando llegamos a la partes especial que tienen las integrales aquí, que pueden ser de línea, superficie o volumen...Así que pónganse los cinturones que se acaba de terminar lo lindo:

Acompañame a:

Integrales de Línea, Superficie y Volúmen

¿Qué son los campos?

En física, un campo representa la distribución  de «algo» es decir, es una propiedad que puede medirse en el entorno de cada punto de una región del espacio para cada instante del tiempo.

Matemáticamente, los campos se representan mediante una función definida sobre una cierta región. Gráficamente, se suelen representar mediante líneas o superficies de igual magnitud.

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Campos Escalares

En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física.

Un campo escalar es una función que a cada punto del espacio le asigna un valor de una magnitud escalar, definida por un número (su magnitud) con su signo, y su unidad.

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región en el espacio le corresponde un número (escalar) Φ(x, y, z). Entonces Φ se denomina función escalar de posición, y decimos que se ha definido un campo escalar Φ.

Ejemplo: Φ(x, y, z)= 3x-2y+z

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Curvas de Nivel

Son simplemente como se ve ese campo con con cierto parámetro estable, hay varios muy famosos, aquí se los dejo:

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Derivada del Campo Escalar

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Campos Vectorial

Suponga que a cada punto (x, y, z) de una región en el espacio, le corresponde un vector V(x, y, z). Entonces V se llama función vectorial de posición, y decimos que se ha definido un campo vectorial V.

Ejemplo: V(x, y, z)= (3x+2)i+(2z)j+(y+3x)z

 

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Campo Conservativo

Es un campo vectorial bastante especial, te contaré los requisitos para que tu campo vectorial sea conservativo:

1. Su rotacional es cero.

¡Listo!

Si lo anterior es cierto, entonces existe un campo escalar tal que:

Entonces podemos decir que el campo escalar contiene toda la información del campo original, también lo llamamos CAMPO POTENCIAL.

Y podemos definir 2 características que te serán muy útiles en el futuro:

• La integral es independiente de la trayectoria.

• La integral cerrada siempre será cero, sin importar la trayectoria.

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Ahora es hora de que vamos a la guerra si o si, vamos por las Integrales ¡Corre!

…espera ¿qué? ¿Còmo que de escalar a escalar?¿Qué sentido tiene eso?

Si, y es que la divergencia del gradiente de una función escalar tiene un nombre en especial y se llama Laplaciano.

Es sencillo de entender, es solo:

Y ya, si, sé que creíste que sería más difícil, pero a veces las cosas son más sencillas de lo que parecen.

Así que toma a una tortuga a cambio.

Ahora es hora de lo bueno, INTEGRACIÓN VECTORIAL…

SI ¡VAMOS, QUE EMPIECE LA GUERRA!

(o también puedes empezar despacio por aprender de los campos)

∇Φ

La gradiente es la primera operación diferencial vectorial que veremos (vaya que eso suena complejo, pero no te preocupes).

Pero vamos, ¿Qué significa sacar la gradiente? ¿A qué «cosa» puedo sacarle la gradiente?

Preguntas muy buenas Timmy, y también fáciles de responder:

• ¿A qué «cosa» puedo sacarle la gradiente? A una función escalar. (Las de toda la vida pues).

• ¿Qué significa sacar la gradiente? Es una operación en la que tu obtienes una función vectorial iniciando con una función escalar.

• ¿Cómo? Así.

Ok, ok, eso fue un cambio brusco, veamos si ahora que ya vieron la fórmula, la definición formal se ve más fácil de entender.

«El gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo.»

• Observa que la gradiente de un campo escalar ∇Φ define un campo vectorial
• De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando.

Aquí un ejemplo:

Gradiente

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Derivada Direccional

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

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Vector Normal a Superficie

Otro truco con la gradiente es que si tenemos una superficie como esta:

Esto es un vector perpendicular a la superficie , donde c es una constante.

Y eso, eso es todo amigos, ahora es hora de ver la siguiente operación vectorial, la divergencia.