Gradiente ∇Φ: De Escalar a Vector

∇Φ

La gradiente es la primera operación diferencial vectorial que veremos (vaya que eso suena complejo, pero no te preocupes).

Pero vamos, ¿Qué significa sacar la gradiente? ¿A qué “cosa” puedo sacarle la gradiente?

Preguntas muy buenas Timmy, y también fáciles de responder:

  • ¿A qué “cosa” puedo sacarle la gradiente? A una función escalar. (Las de toda la vida pues).
  • ¿Qué significa sacar la gradiente? Es una operación en la que tu obtienes una función vectorial iniciando con una función escalar.
  • ¿Cómo? Así.

gradiente

Ok, ok, eso fue un cambio brusco, veamos si ahora que ya vieron la fórmula, la definición formal se ve más fácil de entender.

“El gradiente es una operación vectorial, que opera sobre una función escalar, para producir un vector cuya magnitud es la máxima razón de cambio de la función en el punto del gradiente y que apunta en la dirección de ese máximo.”

  • Observa que la gradiente de un campo escalar ∇Φ define un campo vectorial
  • De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando.

Aquí un ejemplo:


Derivada Direccional

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

derivada-direccional


Vector Normal a Superficie

Otro truco con la gradiente es que si tenemos una superficie como esta:

campo

Esto gradiente-icono es un vector perpendicular a la superficie , donde c es una constante.

Y eso, eso es todo amigos, ahora es hora de ver la siguiente operación vectorial, la divergencia.

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