Integrales de Línea, Superficie y Volúmen

Integral de Línea

Aquí está, ahora mismo se ve bastante como las demás, ¿no es así?

Tú tranquilo, ya verás como todo se pone peor : )

integrales

Curva Cerrada

Si C es una curva cerrada (que supondremos es una curva cerrada simple, es decir, una curva que no se intersecta consigo misma en ningún punto), es frecuente denotar la integral alrededor de C.

curva.png

Aquí un ejemplo:

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Integrales Dobles

superficial

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo.

normal

Al realizar una “integral triple” de una función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración.


Integral de Superficie

Sea S una superficie de dos lados.Un lado de S se considera de manera arbitraria como el positivo (si S es una superficie cerrada, como una esfera, entonces el lado exterior se toma como el positivo).

superficie

Una normal unitaria, n, a cualquier punto del lado positivo de S se llama normal unitaria positiva o dirigida hacia fuera.

Asociemos con la diferencial de la superficie, dS, un vector dS de magnitud dS y cuya dirección es la de n. Entonces, dS = ndS. La integral

Podemos denotar en el plano XY como:

ejemplos

Aquí un ejemplo:

Ejemplo 1:

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Ejemplo 2:

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Integral de Volumen

Considere una superficie cerrada en el espacio que encierra un volumen V. Entonces, las integrales de volumen o integrales espaciales, se denotan como sigue:

volumen

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¿Se ve difícil? Es hora de hacerlo más fácil… ¡Con los teoremas de Integrales!

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