Series: Conociendo el Infinito

ApuntesDe

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¿Serie vs Sucesión? 

Esto es algo que no sabia pero resulta que en matemáticas cuando hablamos una colección de números estamos hablamos de una sucesión, pero cuando hablamos de sumarlos estamos hablando de una serie.

DEFINICIÓN 1:

Podemos definir una serie como: “La suma desde un n0 (generalmente el 0 ó el 1) hasta aproximarse al infinito”.

Esto lo podemos expresar visualmente como:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.33.15 a.m..png

Generalmente empieza en uno, pero tendrá sus excepciones



Sumas Parciales

Veamos otra forma de ver a las series, podemos pensar para ayudarlos a encontrarlas en otra sucesión, en una descrita por las “sumas parciales ” osea la suma los elementos de una sucesión, ahora podemos hablar de lo que significa una suma parcial, que no es mas que ir sumando poco a poco todos los elementos de una sucesión.

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.40.29 a.m.

Sucesión Generada por las Sumas Parciales

Las sumas parciales si te das cuenta CREAR OTRO SUCESION, la cual podemos como a cualquier otra sucesión buscar describir que es lo que pasa cuando se aproxima al infinito, al n-ésimo termino:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.40.35 a.m.

Sumas Parciales


Encontrar la Serie usando Sumas Parciales

Ahora veamos algo, algo muy MUY importante, estas dos cosas son SIEMPRE IGUALES:

  • El límite en el infinito de la Sucesión de Sumas Parciales de cierta Sucesión
  • La Serie de esa Sucesión

Es decir mas claramente si encontramos el limite de la sucesión de las sumas parciales (llamémoslo s)  entonces encontramos cuando vale la serie:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.54.09 a.m.

Si encontramos el límite de la sucesión de las sumas parciales

Donde S es:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.54.19 a.m.

Bingo, encontramos lo que queríamos.


Propiedades de las Series

Antes que seguir con más tener que recordar que las Series (siempre y cuando convergen, claro ) son un Operador Lineal, es decir:

  • Da lo mismo sacar la serie de cierta sucesión y al final multiplicarlo por un escalar, que multiplicar el escalar por cada elemento.
  • Da lo mismo sacar la serie de la suma de dos sucesiones que sumar la serie de cada uno de las series.

Esto lo podemos ver mas bonito así:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 7.25.11 a.m.

Es un Lindo Operador Lineal (siempre que converge)


Tipos de Series

Hay tantos tipos de Series que después de cierto tiempo empiezas a encontrar muchos patrones, veámoslos y veamos cuanto trabajos podemos ahorrarte ; )

Series Geométricas

Una series se dice que es geométrica si es que si divides dos términos consecutivos siempre obtendrás la MISMA CONSTANTE.

SerieGeometrica3

359px-GeometricSquares.svg

Ahora podemos ver que la serie de esta sucesión será:

SerieGeometrica1

Así se ven

Recuerda: Podemos saber facilmente si converge o no, solo basta con que |r| < 1 para estar seguros de que converge, donde podemos encontrar a que convege también muy fácil como:

SerieGeometrica2

Ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-18 a las 9.49.14 p.m.


Series P: La Madre de todas las Armónicas

Para empezar hay que recordar que hay una serie muy famosa que se conoce como la Serie Armónica:

SeriesP2

Un clásico

Podemos entonces hablar de las Series P, que es una generalización de las series armo- nicas, de la forma:

SeriesP1

Hola P, Soy una Serie P

Recuerda:

  • Cuando p ≤ 1 es la serie armónica (La cual diverge).
  • Y también podemos saber (por el criterio de la integral) que para cualquiera p > 1 la serie converge.

Series Telescópicas

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.18.33 p.m.

Las series telescópicas son muy lindas, para empezar lo que tenemos que hacer es ver que la Serie (Suma de todos los elementos de la Sucesión) tiene esta forma:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.18.22 p.m.

Sumas Parciales

Y si te das cuenta todo eso se cancela, menos dos elementos, por  lo podemos escribir así:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.21.33 p.m.

Sumas Parciales

Por lo tanto, SOLO CUANDO bn converga ENTONCES LA SERIE CONVERGE a algo entonces podemos concluir que la Suma o Serie es:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 3.18.43 p.m.


Series Alternantes

Son un tipo de serie muy especial en la cual el signo cambia con cada termino. Las lla- mamos como serie alternante porque sus terminos alternan entre positivos y negativos.

Podemos ver aquí que hay dos tipos de Series Alternantes:

  • Si empezamos con números positivos es del tipo:

Alternas3

  • Si empezamos con números negativos es del tipo:

Alternas2

Estimación de Series Alternantes

Una suma parcial de de cualquier serie convergente se puede usar como una aproximación a una suma total, pero no es muy utilizado, a menos que estime la exactitud de la aproximación.

Esto es de verdad muy útil con las Series Alternantes, supongamos una Serie conver- gente. Entonces podemos decir que nuestra estimación será:

Captura de pantalla 2017-05-22 a las 9.33.24 p.m.

Convergencia Absoluta 

Decimos que la serie Σan es Absolutamente Convergente si la serie  Σ|an|converge.

Si la serie Σan converge pero la serie Σ|an| diverge, decimos que la serie es Condicionalmente Convergente.

Teorema:

Si Σan es absolutamente convergente, entonces también es convergente.

El Teorema anterior es muy útil, ya que garantiza que una serie absolutamente conver- gente es convergente. Sin embargo, su recíproco no es necesariamente cierto: Las series que son Convergentes pueden o no ser Absolutamente Convergentes.


Series de Potencias

Una serie de potencias es una serie donde x es una variable y las cn son constantes que se denominan coeficientes de la serie. Para cada x establecida, la serie ya es una serie de constantes que puede probar para ver si son convergentes o divergentes.

Potencias2

Pero generalmente no es así como lo vemos, sino que tienen esta formula, donde se le conoce como serie de pontencia centrada en a, en (x − a) ó con respecto a a:

Potencias1

Repito, estas series son respecto a “dos variables”:

  • x es variable totalmente libre, como una chica francesa.
  • cn es un acrónimo para coloca aqui cualquier serie común, como el bn de las alternas.

 

Radio de Convergencia

Como puedes ver la x en las series de potencias es una incognita que puede valer cualquier número, así decimos que el Radio de Convergencia es el conjunto de todos los valores de x tales que se cumple que dicha serie converge. Ahora veamos como sacar dicho intervalo – conjunto:

  • Usa el Criterio de la Razón o de la Raíz como creas mas apropiado y despeja a x de tu resultado, obtendras una desigualdad o algo parecido.
  • Ya casi terminas, lo único que te falta es ver que pasa cuando el criterio que elegiste de 1 (pues recuerda que ambos criterios no te dicen nada si L = 1), así que a patita verifica que pasa en ambos límites del intervalo para saber que pasa en ambos extremos (si son cerrados o abiertos).

Obviamente para cualquier Serie de Potencias solo hay 3 posibilidades:

  • Solo converge cuando x − a
  • La serie converge siempre
  • Existe un número R tal que la serie converge si |x − a| < R

 


Criterios en Series

Pruebas de la Divergencia

Esta es muy clásica y es muy fácil primero hacer esta antes de hacer nada más:

Divergenica.png

Es decir, que si encuentras que el limite (en el infinito) de la sucesión es 0, puede o no que converge, pero si no es 0, ya ni no intentes xD.


Prueba de la Integral

Suponga que f es una función:

  • Continua
  • Positiva
  • Decreciente en [1, ∞)

y sea an = f(n)
Entonces este criterio nos dira que:

Captura de pantalla 2017-05-02 a las 12.59.56 p.m..png

Cuando use la prueba de la integral no es necesario iniciar la serie o la integral en n = 1.

Asimismo, no es necesario que f(x) sea siempre decreciente. Lo importante es que f(x) sea decreciente por último, es decir, decreciente para x más grande que algún número N.


Criterio de Comparación: Directa

Supón que an > 0 y que también bn > 0. Osea que ambos terminos siempre seran positivos. Entonces:

Comparacion.png

Naturalmente, al usar la prueba por comparación es necesario tener alguna serie co- nocida Σbn para los fines de la comparación. La mayor parte de las veces se usan las series:

  • Series P
  • Series Geométricas

Criterio de Comparación: Límites

Supón que an > 0 y que también bn > 0. Osea que ambos términos siempre serán positivos.

Entonces si:

Limites

(Donde obviamente L debe ser positivo y finito)
Si todo esto se cumple entonces alguna de las dos proposiciones deben ser verdad:

  • Ambas Σan y Σbn divergen.
  • Ambas Σan y Σbn convergen.

Criterio de Comparación: Razón

Sea una Σan una series de términos positivos, tal que:

Razon.png

  • L < 1 : La Serie es absolutamente convergente.
  • L > 1 ó L = ∞ : La Serie diverge.
  • L = 1 : No nos dirá nada (por ejemplo cualquier serie P nos dará 1)


Criterio de Comparación: Alternas

Podemos ver aquí que hay dos tipos de Series Alternantes:

  • Si empezamos con números positivos es del tipo:

Alternas3

  • Si empezamos con números negativos es del tipo:

Alternas2

Recuerda que nuestra serie es convergente si cumple con lo siguiente:

Alternas1

ApuntesDeLaura


Criterio de Comparación: Raíz

Sea una an el n-esímos sumando de una serie, veamos que pasa si hacemos esto:

raiz2

  • laL < 1 : La Serie es absolutamente convergente.
  • L > 1 ó L = ∞ : La Serie diverge.
  • L = 1 : No nos dirá nada

Ejemplo:

raiz1

 

 


Plan de Acción

  1. (Prueba de Divergencia) Verifica que el n-ésimo sea 0 cuando n tienda a infinito.
  2. Verifica si la que tienes es una Serie P ó Geométrica, si si ya sabes que hacer 😉
  3. (Comparación) Si se pacere a una Serie P o Geométrica, usa alguna de las de Comparación.
  4. (Convergencia Absoluta) Si quitando que sea alternante se vuelve algo como una P o Geométrica, intenta convergencia absoluta.
  5. (Criterio de Alternantes) Vea que si es alternante.
  6. (Razón) Si tienes Factoriales o Potencias, prueba con Razón.
  7. (Raíz) Si nada funciona, o tienes un termino elevado a la n, intenta la Raíz.
  8.  (Integrales) Si estás re muerto, intenta con Integrales.

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Secuencias en Cálculo

Definición

FORMAS 1:

Se puede considerar que una sucesión es una lista de números escritos en un orden definido:

a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . .

FORMA 2:

Es una función en la que su dominio son los enteros positivos, (o los naturales ( pero sin el cero, que algunos ponen el cero ).


Formas de Expresar Sucesiones

Hay dos formas de escribirlas en notación matemática:

Forma de Recursión

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.02.23 a.m.

Forma General (o aún más pro)

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.11.44 a.m.

Veamos algunos ejemplos de esta ultima:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 8.17.20 p.m..png

Ahora si, vamos a lo que es interesante:


Límite de una Secuencia

El límite de una secuencia (a la que llamaremos {an} ) esta denotado por L (osea que le pondremos de nombre L, pues).

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.43.08 a.m..png

Si el límite existe entonces decimos que la secuencia “converge”, sino, decimos que “diverge”.

O la definición más formal:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 8.20.29 a.m..png

Cortesía de ProfRobBob

LBQNdKVLQTTAL276dCbVBE31

ProfRobBob

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.41.51 p.m..png

Ve como esta secuencia se va aproximando en …


Propiedades de los Límites

Hay que recordar que como otros operadores, los limites son operadores lineales, es decir que conservan la suma de elementos y la multiplicación por un escalar:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.28.15 p.m.

Esto es un Operador Lineal

Algunas otras propiedades:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.28.32 p.m.

Las mas conocidas

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.29.43 p.m.

Las menos conocidas


Encontrarlo usando Funciones

Podemos ocupar lo que ya sabemos para las funciones con las secuencias para hacer nuestra vida mas sencillas:

Imagine que encuentras una función f(x) tal que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.47.30 p.m.

Donde esta función sea muy especial pues para cada n que se entero se cumple que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.47.46 p.m.

Entonces podemos afirmar de manera muy segura que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.48.15 p.m.


Regla del Gran L’Hôpital’s

Este regla dice que si le estas sacando el límite con respecto a c (donde c puede ser un número cualquiera o bien el infinito o el menos infinito) a una RAZÓN de dos funciones, que si la evaluar de manera directa legas a alguna de estas indeterminaciones:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.10.19 a.m.

Límites que son candidatas para Hopital

También se suele decir que para que sea candidato a L’Hôpital’s, la derivada de su denominador debe ser Diferente de cero.

De ser así puedes aplicar el siguiente teorema super bonito (y útil):

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.10.27 a.m.

(En el caso de que sus derivadas vuelvan a ser una indeterminación como las de arriba, no se te olvide que podemos aplicar esta regla de manera recursiva hasta que nos de algo maldita sea!)

Veamos un ejemplo rápido:

Captura de pantalla 2017-03-28 a las 9.33.47 a.m..png


Cotas de una Sucesión

Antes que anda tienes que admitir que este es el teorema con el nombre mas cool.

Antes que nada tenemos que definir que es una cota:

  • Una cota inferior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por debajo (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.
  • Una cota superior es un número que sin importar que n le pongas a tu sucesión, tu cota siempre estará por arriba  (o tocando) de la gráfica de tu gráfica.
Captura de pantalla 2017-04-04 a las 8.11.05 a.m.

Diagrama que intenta explicar esto

Ahora podemos decir que esto pasa (Es un teorema):

  • Si una sucesión tiene cota superior tiene una mínima cota superior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas pequeña,  la que casi toca a la secuencia).
  • Si una sucesión tiene cota inferior tiene una máxima cota inferior (osea que de todas las cotas posibles dame la mas grande, la que casi toca a la secuencia).

Teorema de Acotación:

Decimos que una secuencia esta acotada cuando tiene una cota superior e inferior.


Sucesiones Monótonas

Veamos dos tipos de secuencias:

Crecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.58.43 p.m.

Decrecientes: Aquellas en las que se cumple esta línea

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.58.52 p.m.

Una secuencia es monotona cuando es cualquiera de las dos.

Teorema Auxiliar

“Siempre que una sucesión sea monótona y este acotada tiene siempre convergerá a algo”


Teorema del Apachurramiento

El teorema del apachurramiento nos dice los siguiente:

  • Supongamos 3 secuencias, a, b, y c tal que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.44.17 p.m.

Que cumplan estas características

  • Ahora supongamos que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.47.43 p.m.

Encontramos que … 😀

  • Entonces podemos concluir que:
Captura de pantalla 2017-04-14 a las 7.47.58 p.m.

Bingo


Teorema Raro

Otro teorema que te puede ayudar es este:

Supongamos que encontremos que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.59.33 p.m.

Entonces si encontramos una f queso ea continua en L, podemos afirmar que:

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 11.59.43 p.m.

Veamos un ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-15 a las 12.03.03 a.m..png

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Sólidos de Revolución

Existen muchísimas formas de resolver esta clase de problemas, así que veamos unas cuantas de ellas:

Discos

Como así lo dice hay que hacer un disco infinitesimal delgado e integrarlo.

Giros sobre el “Eje X”

solidos2

Diagrama

solidos1

Formula General

Giros sobre el Eje Y

solido1

Diagrama

solido2

Fórmulas


Shell – Cascarones/Casquillos

Este método es muy utilizado para hacer girar sobre un “Eje Y”

Nuestro elemento diferencial de volumen es un casquillo que va aumentando de radio, y muy muy delgado, así integramos a lo largo del Eje X.

shell2

Diagrama

shell1

Fórmula

¿Cuál usar cuando?

  • Usa Discos para girar en el Eje X
  • Usa Cascarones para girar en el Eje Y

 

 


Giro del Área entre dos curvas

Discos 2.0-Arancelas: Giro con respecto al “Eje X” (y=c)

new-doc-2017-02-14-page-4

Diagrama

21

Fórmula

 

 

Cascarones 2.0: Giro con respecto al “Eje Y” (x=c)

shell2

Diagrama

22

Fórmula

 


¿Quieres olvidarte de los Métodos y solo las fórmulas?

 

Yo también, así que apoyándome  en KristaKing, les paso el siguiente formulario:

captura-de-pantalla-2017-03-04-a-las-7-57-32-p-m

 

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.57.17 p.m..png

 

 

 

 

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Áreas y Longitudes de Arco

Aproximaciones de Áreas

Sumas de Riemann

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann (da!) para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Estas se basan en dividir tu curva en muchos fragmentos o rectángulos iguales, cuya base mide dx, o Delta X y cuya altura es la valuar la función en ese punto.

Donde n es el número de pedazos a dividir.

Riemann_sum_convergence.png

Forma Gráfica

 

Formas de Hacerlo:

Paso común:

Encuentra la longitud de la base usando la siguiente fórmula:

12

 


Usando la Izquierda

200px-leftriemann2-svg

3

 


Usando la Derecha

200px-rightriemann2-svg

4

 

 


Usando el Intermedio

200px-midriemann2-svg

5

 


Usando Trapecios

200px-trapriemann2-svg

Recuerda que estamos usando trapecios, así que podemos usar esta fórmula:

20

captura-de-pantalla-2017-02-08-a-las-7-47-43-a-m

Así que podemos simplificar a esto (confía en mi, 100% seguro):

captura-de-pantalla-2017-02-08-a-las-8-00-53-a-m

 


Forma de Simpson

…Creéme a todos nos cuesta entender porque funciona esto.

simpsons_method_illustration-svg

 

21


Longitud de Arco

 

longitud1

Diagrama

 

Podemos deducir la fórmula con este diagrama de manera muy fácil:

longitud1

longitud2

Fórmula para Longitud de Arco

 


Áreas Superficiales  

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.25.18 p.m..png

Para una F(x) sobre Eje X

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.26.29 p.m..png

Para una F(x) sobre el Eje Y

 

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.26.44 p.m..png

Para una F(y) sobre el Eje X

Captura de pantalla 2017-03-04 a las 7.26.49 p.m..png

Para una F(y) sobre el Eje Y

 


Áreas 

La aplicación mas intuitiva de las integrales son la de haya el área bajo la curva, de hecho esta muy ligado a su definición:

image16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Máximos, Mínimos y Concavidad

Cambio de una Función: Derivada

Imaginate la siguiente función.

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 9.21.25 a.m.

Si alguien malvado te preguntará (alguien malvado…) ¿Dónde esta el punto máximo en esa función?

Tenemos varias opciones:

  • Podemos tabular algunos valores hasta encontrar uno que creamos que sea el máximo (o mínimo).
  • Podemos graficar y empezar a tantear por donde esta el máximo.
  • Llorar, llorar siempre es una opción.

…O ser inteligente y usar el calculo para encontrar la respuesta:

*Tu función debería ser continua en el intervalo en el que estés pensando para que lo que vaya a decir tenga sentido…digo, sino no tiene sentido nada de lo que digo.*


Función Creciente y Decreciente

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 2.13.57 p.m..png

  • Si la derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función esta creciendo en x.
  • Si la derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función esta decreciendo en x.

 

Puntos Críticos

Podemos definir entonces que los puntos críticos de nuestra función son cuando:

  • Nuestra primera derivada es cero (es decir, no crece ni decrece).
  • Nuestra primera esta indeterminada.

 

Gracias a lo que vimos podemos sacar la derivada y obtener muchas respuestas:

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 7.27.02 p.m.

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 7.27.17 p.m.

Como que de la última formula podemos saber que la función:

  •  Siempre va a crecer desde -1 a 0 y desde el 2 al infinito.
  • Siempre va a decrecer desde el menos infinito hasta el -1 y también desde 0 hasta 2.


Concavidad: Segunda Derivada

Así como la primera derivada nos muestra sobre como va la función, si crece o decrece, la segunda derivada, nos habla de como cambian esos aumentos y reducciones.

Esto se conoce en matemáticas como Concavidad.

concavidad-convexidad-segmento

Tipos de Concavidad (Palabrería)

Untitled drawing.png

Puntos importantes en la Gráfica

Concavidad Hacia Arriba / Abajo

Captura de pantalla 2017-04-14 a las 2.17.40 p.m..png

  • Si la segunda derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia arriba.
  • Si la segunda derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia abajo.
  • Punto de Inflexión: Podemos decir entonces que un punto de inflexión es cuando la concavidad de la función cambia.

Teorema de Fermat (quien sabe cual sea)

Si una función f(x) tiene un máximo o mínimo cuando x = c, entonces x = c es también un punto crítico.

Máximos y Mínimos (Receta de Cocina):

Así que si queremos encontrar los máximos o mínimos:

  1. Calcular los puntos críticos, es decir derivar f(x)  
  2. f’(x) =0 , es decir Igualar a 0 la 1° Derivada
  3. Resolver la ecuación (que salir del paso 2) y obtener las raíces
  4. Calcular la segunda derivada
  5. Sustituir las raíces en la 2° derivada y comparar resultados
  • Si Resultado < 0 Máximo
  • Si Resultado > 0 Mínimo

 

 

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Diferenciales

Puedes acceder al texto original, si le picas en PDF:

Captura de pantalla 2017-03-08 a las 8.21.11 a.m..png

Texto de Referencia

Dado una función de f(x), tenemos dos diferenciales, y estos guardan una relación muy importante, recuerda que tenemos dos notaciones para la derivada:

Captura de pantalla 2017-03-08 a las 8.05.47 a.m.

Esto nos dice algo super genial: La derivada no es más que la razón entre dos diferenciales.

Así que gracias a esto podemos sacar la relación entre estas diferenciales, por ejemplo para la diferencial de y:

diferenciales

Veamos algunos ejemplos:


Diferenciales y Margen de Error

Ahora podemos ocupar los diferenciales para encontrar errores:

Captura de pantalla 2017-03-08 a las 8.40.42 a.m.

Si pensamos en ∆x como el cambio infinitesimal en x, podemos ver que el cambio en y se puede obtener de:

Captura de pantalla 2017-03-08 a las 8.15.19 a.m.

Si ∆x es pequeño entonces así lo será ∆y, solemos llamar a esto “errores”.

Los “errores” miden cambios en  y en x.

Captura de pantalla 2017-03-08 a las 8.25.59 a.m.


Ejemplos de Aplicaciones

Esfera: Una esfera fue medida y su radio es de 21 u con un error posible máximo de 0.05 u. Calcula el posible error máximo.

 

 

 

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