Teoremas de Integrales

Teorema de la Divergencia de Gauss

Suponga que V es el volumen limitado por una superficie cerrada S y que A es una función vectorial  de posición con derivadas continuas, donde n es la normal positiva (dirigida hacia fuera) a S.

Entonces:

guass

Ejemplo:

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Teorema de la Stokes

Suponga que S es una superficie abierta, de dos lados, limitada por una curva C cerrada que no se interseca a sí misma (curva simple cerrada), y suponga que A es una función vectorial de posición con derivadas continuas.

Entonces:

stokes

 Ejemplo:

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Teorema de Green

Suponga que R es una región cerrada en el plano xy, limitada por una curva simple cerrada, C, y que M y N son funciones continuas de x y y que tienen derivadas continuas en R. Entonces:

green

Donde C se recorre en la dirección positiva (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).

Ejemplo :

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…. Y listo ¡Has dominado todos, y digo TODOS los temas de Análisis Vectorial.

¡Eres genial!

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Divergencia ∇ ·V: De Vector a escalar

Antes que todo definamos un campo vectorial bien bonito (en este caso que sea diferenciable en todos los puntos)

funcion-vectorial

Ahora sí, las preguntas de siempre:

  • ¿A qué “cosa” puedo sacarle la divergencia? A una función vectorial. 
  • ¿Qué significa sacar la divergencia? Es una operación en la que tu obtienes un escalar (un número pues) iniciando con una función vectorial.
  • ¿Cómo? Así.

divergencia.png

Y si, así de fácil es sacar la divergencia, ¿ves que no son más que unas cuantas formulitas?

Aquí un ejemplo:

¿Qué significa el resultado de esta operación?

La divergencia de un campo vectorial cualquiera, nos dice dónde “nacen” y “mueren” las líneas de campo y cómo de intenso es el proceso de “nacimiento” o “muerte” de las líneas.

Imaginemos nuestro campo vectorial como una bañera, y los vectores como las dirección en la que se mueve el agua, con esta pequeña analogía podemos llegar muy lejos, pues:

Al calcular la divergencia como al calcular la de cualquier vector, sólo pueden pasar una de tres cosas:

  • Si ∇ · V = 0, eso significa que ninguna línea de campo «muere» en el entorno de este punto y ninguna línea de campo «nace». Dicho de otro modo, toda línea que entra en el entorno de este punto sale otra vez de él, y toda línea que sale de aquí entró antes.

vector

  • Si ∇ · V > 0 (si la divergencia es Positiva) eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto nacen líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, eso significa que del entorno del punto (del círculo) salen más líneas de las que entraron. Cuanto más grande sea el número positivo, más líneas «nacen», es decir, más intenso es el flujo de agua saliendo del círculo.

vector2.png

  • Si ∇ · V eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto mueren líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, esto significa que en el entorno del punto entran más líneas de las que salen. Una vez más, cuanto más pequeño sea el número negativo, más líneas «mueren», es decir, más intenso es el flujo entrante.

vector3

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Operador Nabla

Salve Dios Nabla

Este símbolo triangular aparentemente básico se llama nabla.

Se trata de un operador matemático que puede tomar parte en diversas operaciones vectoriales. (Osea que los matemáticos usan este símbolo para representar muchas operaciones dependiendo del contexto, de la misma manera que tú y yo usamos la palabra banco).

Nabla es un operador matemático muy versátil, que puede aplicarse a números normales y corrientes (como la temperatura en distintos puntos de una habitación) o a vectores (como nuestro famoso campo eléctrico), y es capaz de proporcionar información muy interesante sobre ellos.

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

nabla

Este operador vectorial posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. Es útil para definir tres cantidades que aparecen en ciertas aplicaciones y que se conoce como gradiente, divergencia y rotacional.

Fin de la Lección.

Si, tenemos un problema, y es que tanto nabla como la gradiente, rotacional y la divergencia son temas muy rápidos y cortos, pero todos juntos serían estúpidamente largos, así que espero que el lector me perdone.

Así que empecemos con los temas:

Da click en el tema que quieras ver

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