Espacios Vectoriales

fuentes-2

 

ApuntesDe

Dale Click

 

 

 

Hay una pregunta muy común que se suelen hacer a los que estudiamos estas materias:

¿Qué es un vector?

  • Es una flecha en el espacio que casualmente tiene una bonita forma matemática.
  • Es un conjunto de números que casualmente tienen una bonita visualización gráfica.
  • Es algo más…

…. Para que me entiendas, usaremos algo que no es un vector para mucha gente pero tiene varias características interesantes:

Funciones

captura-de-pantalla-2017-02-26-a-las-7-23-55-p-m

Las puedes sumas COMO A LOS VECTORES

captura-de-pantalla-2017-02-26-a-las-7-24-48-p-m

Y MULTIPLICAR

captura-de-pantalla-2017-02-26-a-las-7-26-03-p-m

INCLUSO PUEDES TENER TRANSFORMACIONES LINEALES

Es más incluso puedes expresar a una derivada como una matriz:

Captura de pantalla 2017-02-26 a las 7.43.19 p.m..png

Así que a la pregunta:

¿Qué es un vector?

La mejor respuesta que tengo es: Cualquier objeto matemático en el que exista la noción de añadir estos objetos e multiplicarlos por un escalar.

Eso es un vector.

Captura de pantalla 2017-02-26 a las 7.47.15 p.m..png

Esto son vectores

Campo

Definición Formal: Un campo K es un conjunto (no vacío) con dos operaciones cerradas, suma y producto, tales que para cualquier 3 elementos se cumplen las siguientes propiedades:

con

Leyes


Campos Conocidos

040

Tal vez me recuerdes en campos como:

Algunos campos que quizá conozcas:

  • Racionales
  • Reales
  • Complejos
  • Cualquier aritmética modular cuya n sea prima

Algunos conjuntos que “parecen” ser campos pero no lo son son:

  • Los enteros
  • Naturales

Propiedades Básicas de un Campo

  • Los neutros son únicos
  • Los inversos son únicos
  • Si x+z=y+z, entonces x=y
  • Si xz=yz y z no es 0 entonces
  • Cualquier elemento por el cero del campo, es si mismo.
  • El inverso aditivo de un inverso aditivo de un elemento es ese elemento.
  • Si XY= 0, o X o Y es cero.
  • El inverso multiplicativo de un inverso multiplicativo de un elemento es ese elemento.

Podemos definir que un Espacio Vectorial tiene que cumplir las siguientes características:

propiedades


Espacio Vectorial

Es más podemos definir un Espacio Vectorial sobre un Campo K cualquiera, como un conjunto no vacío en el que existe algo parecido a sumar, (una operación que recibe dos vectores y te regresa un vector) y multiplicar por un escalar (es decir una operación tal que recibe un vector y un escalar y regresa un vector).

Espacio Vectorial: Cualquier conjunto que obedezca estas normas.

Captura de pantalla 2017-02-26 a las 7.49.39 p.m..png

Cortesía de 3Blue1Brown


SubEspacio Vectorial

“Es un subconjunto de un espacio vectorial en la que la suma y el producto por escalares de sus elementos siempre pertenezcan a ese mismo subconjunto”

Que W sea un subespecie vectorial de V quiere decir que W es un espacio vectorial con respecto a K con las operaciones restringidas a W.

Si W no es el conjunto vacío podemos decir que:

  • La suma de cualesquiera dos elementos de W esta en W.
  • La multiplicación de  un escalar con cualquier elemento de W continua estando en W.

O simplificando todo en una ecuación:

Captura de pantalla 2017-04-06 a las 8.54.28 a.m.

Así entonces para probar que algo es un subespacio vectorial hay que bien o probar que la suma y el producto por escalares se mantiene en W o probar la proposición de arriba, como tu quieras.


Propiedades de los SubEspacios

  • El subconjunto en el que solo esta el cero vector siempre será un subespacio.
  • V es subespacio vectorial de si mismo.
  • La intersección de dos subespacios vectoriales es un subespacio.
  • El conjunto de todos los elementos de la suma de 2 subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.

SubEspacios Generados

Un subespacio o espacio generado de un montón de vectores es el espacio vectorial mas pequeño que contiene a todos esos vectores.

O también se puede ver como el conjunto de todas las combinaciones lineales que se puede hacer con estos vectores.

Captura de pantalla 2017-04-17 a las 9.43.20 a.m.

Forma 1

Captura de pantalla 2017-04-17 a las 2.12.40 p.m..png

Forma 2

Otra definición de este concepto se puede tener con estas dos ideas:Captura de pantalla 2017-04-17 a las 1.51.59 p.m.

Con estas condiciones aseguras que subespacio que estas creando es el mas pequeño posible.

Propiedades:

  • El Subespacio generado es único
  • El Subespacio del vacío es el cero vector
  • El Subespacio del Subespacio es el primer Subespacio.
  • Si cierto subespacio generado genera al espacio vectorial original, lo seguirá haciendo si le añades cualquier otro vector.

Ejemplos:

Captura de pantalla 2017-04-17 a las 2.37.55 p.m.


Encontrar si son Linealmente Independientes o no

Antes que nada, si, se que no, no encontré ninguna otro titulo que fuera lo suficientemente corto para expresarlo de otra manera.

Aquí la idea es general: Dado un Conjunto de Vectores ¿Son Linealmente Independientes esos vectores, o de otra forma, son Dependientes?

Para encontrar la respuesta solo hay un camino:

Ver si que exista una combinación lineal que de el vector cero implica (osea obliga a que pase) a que tus escalares sean cero.

Graficamente podemos verlo como:

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 9.35.47 a.m.

Dame ese sistema

Captura de pantalla 2017-04-19 a las 9.44.47 a.m.

Dime ¿Esta es la única solución?

Tips:

  • Dado un sistema de ecuaciones homogéneo si tiene mas incógnitas que ecuaciones el sistema tiene muchas soluciones y por lo tanto el sistema asociado es dependiente.
  • Si su determinante es diferente de cero entonces solo tiene la solución trivial y por lo tanto son independiente el sistema asociado.

 

Propiedades Independencia Lineal:

  • Si cierto conjunto de Vectores son Linealmente Independientes, entonces no importa si le quitas un vector al conjunto, seguirá siendo Linealmente Independientes
  • Si cierto conjunto de Vector es contienen al cero vector es imposible que sean linealmente independientes.


Base de un Espacio Vectorial

Sea un Espacio Vectorial V, entonces podemos tener un conjunto de vectores de esa V que llamamos Base.

Podemos decir que un Conjunto de Vectores de V es base si y solo si:

  • Generan a V
  • Son Linealmente Independientes

U otra definición bonita sería:

“Con el Conjunto de Vector Base es el mínimo conjunto en Cardinalidad con el que es posible escribir cualquier vector de V” 

Captura de pantalla 2017-04-20 a las 9.25.43 a.m.

Propiedades:

  • Todas las bases tiene un la misma cardinalidad, digo, esto es obvio porque la dimensión esta bien definida, es decir es única.

Ejemplos:

Por ejemplo podemos saber que con este conjunto de vectores en R2, podemos crear cualquier vector en 2D

Captura de pantalla 2017-04-20 a las 9.32.14 a.m.

Los Clásicos “i” y “j”

Captura de pantalla 2017-04-20 a las 9.32.19 a.m.

Pero no son únicos, mira :0

Dimensión:

Podemos decir que la dimensión de V es la cantidad mínima de vectores que tendrá una Base que genera a V, osea, que la dimensión es la cantidad de vectores canónicos.


Teoremas Muy Importante:

Sea:

Captura de pantalla 2017-04-24 a las 9.47.40 a.m.

Los siguientes enunciados son equivalentes:

  • A es invertible
  • F1, F2, F3 … Fn generan a K^n
  • C1, C2, C3 … Fn generan a K^n
  • F1, F2, F3 … Fn son linealmente independientes
  • C1, C2, C3 … Fn son linealmente independientes
  • B = {F1, F2, …, Fn} son base de K^n
  • B = {C1, C2, …, Cn} son base de K^n

 

Sea n=dim V

Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

  • v1, v2, … vn  generan a V
  • v1, v2, …vn son linealmente independientes
  • B = {v1, v2, v3, … vn} es una base de V

 

 


Depurando para llegar a una Base

Supongamos que tenemos un conjunto de vectores con el que podemos generar un Espacio Vectorial, pero la cantidad de vectores en ese conjunto es mayor de la dimensión del Espacio Vectorial, es decir que hay “vectores de sobra”.

Para podemos depurar aplicamos el siguiente algoritmo:

  1. Si es que la cardinalidad el conjunto es mayor a la dimensión de V
  2. Encontrar el Vector que es Combinación Lineal
  3. Eliminarlo
  4. Repite a 1

 

Podemos aplicar Gauss Jordan también, con esto, lo que podemos hacer es:

Generar la matriz que se forma de intentar encontrar el cero vector con todos ellos.

 

 

Sistemas d

 

Sistema de Ecuaciones – Gauss Jordan

fuentes-2.png

Este articulo esta basado en este documento, si quieren ponerse técnicos, tomen palomitas disfruten de muchos, MUCHOS tecnicismos:

Captura de pantalla 2017-02-19 a las 12.25.59 a.m..png

Denme click para verlo

Podemos usar las matrices y álgebra lineal para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales dentro de cualquier campo (eso quiere decir que podemos ocuparla incluso para resolver sistemas en el campo de los complejos o el campo de los números modulo n)

¿Mi sistema se puede resolver? (Prerequsisitos)

Este es muy obvio pero mejor lo digo, TODAS las ecuaciones debe ser lineales, es decir estar escritas de la forma:

multi.png

Sistema de Ecuaciones

Matriz Ampliada

Llamamos a lo que acabo de dibujar una “matriz ampliada” y la podemos notar en dos partes:

filas


Tipos de Soluciones

Recordemos antes que nada sobre estas ecuaciones, cada una de ellas representa algo en el espacio y podemos “solucionarlas” al dibujarlas en el espacio:

Y podemos separar nuestras soluciones en 3 amplias zonas:

Sistemas Consistentes

sistemas

Podemos tener primeramente sistemas consistentes, es decir que tienen mínimo una solución.

Es decir que las 3 rectas se interesectan MÍNIMO en un punto.

Además algo muy interesante es que todo sistema homogéneo, osea que sus coeficientes independientes valgan cero es consistente. Donde la solución mas obvia es que A, B y C valgan CERO.

matriz1

Así tenemos dos opciones:

  • Tocan en un punto: Que es lo “normal” y lo esperado
  • Son paralelas.

Este caso es muy especial , pues nos dice que el sistema esta dado por ecuaciones que son múltiplos de la otra o otra forma de verlo es que esta dado por vectores linealmente dependientes, así que de forma numérica cuando tengamos este caso llegamos a algo que siempre es verdad, a una tautología. Te muestro como se ve:

sistema2

Estos sistemas dan cosas raras…

Es decir, ese sistema tiene infinitas soluciones.

Para saber si un sistema es dependiente, por ejemplo si hablamos en dos dimensiones basta con ver que una tiene que ser múltiplo de la otra.

Sistemas No Consistentes

sistemas-2

Estos son los feos.

Ocurren cuando llegamos una contradicción, como este estilo:

matriz2


Operaciones Elementales

Para lograr solucionar el sistema se usa lo que se conoce como operaciones elementales, las operaciones elementales son operaciones en las que NO se afectan la solución de la Matriz.

1.- SWAP: Intercambio de Filas / Columnas

real

Podemos si queremos (aunque no se en que momento quisiéramos) expresar esta operación como una “matriz elemental”

Donde es casi la identidad, pero solo hacemos el swap entre las filas deseadas.

Captura de pantalla 2017-03-01 a las 9.11.43 a.m..png

2.-SCALE: Filas / Columnas por un escalar (n no debe ser 0)

captura-de-pantalla-2017-02-08-a-las-2-19-43-p-m

Podemos si queremos (aunque no se en que momento quisiéramos) expresar esta operación como una “matriz elemental”

Donde es casi la identidad, pero es k veces la identidad en la fila deseada.

captura-de-pantalla-2017-03-01-a-las-8-58-06-a-m

3.- PIVOT: Suma  Filas / Columnas y producto por otra

4

Y a esta también la podemos poder como una matriz elemental, esta es igual que la identidad, pero en la coordenada Y,X (NO x,y) esta el numero que queremos.

Captura de pantalla 2017-03-01 a las 9.24.59 a.m..png

Podemos unir las 2 ultimas operaciones y así quedarnos con 2 operaciones:

5

Swap y Pivot


Eliminación Gaussiana

Objetivo: Pasar de una Matriz “normal” a la forma “Escalonada por Filas”

matrices

Para ser Escalonada por Filas

Estas no tienen porque ser matrices cuadradas, pero tienen que cumplir con las siguientes características:

  • Para toda fila, si existe un elemento distinto de cero (pivote), entonces para todos los elementos anteriores de la fila deben ser cero y este elemento (pivote) debe ser uno.
  • Los pivotes deben aparecer de forma escalonada.
  • Si una fila no tiene pivotes entonces toda esa fila debe ser nula.
  • Si una fila no tiene pivotes (osea que sea nula) entonces todas las de abajo no pueden tener pivotes.
pivote2

Estas NO lo son

pivote1

Estas sí que lo son

¿Y cómo hago eso? Usando Pivotes.

Pivote: Son los óvalos, se llaman pivotes porque nos vamos a sujetar de ellos y vamos a buscar hacerlos uno y a todo lo demás de esa fila/columna debe buscar hacerse cero.

La Definición Formal: Un pivote es primer elemento de una fila distinto de cero y si o si tiene que ser un uno.

Algoritmo:

Gauss.gif

Resumen

  1. Inicias en el primer elemento.
  2. Convierte ese elemento a uno (usando la operación escalar)
  3. Usas ese uno que acabas de crear (usando la operación pivot) para hacer a toda a parte de abajo de la columna sea cero.
  4. Te mueves a la siguiente columna y bajas un elemento el columna y repites desde el paso uno.

Código

Soy un estudiante de sistemas computacionales, así que la manera más fácil para mi de entender algo es viendo código, así que te muestro.

Palomitas-2.png


Gauss Jordan

Objetivo

Nuestro objetivo es usando las operaciones elementales encontrar una forma de pasar nuestro matriz ampliada a esta forma:

11

Esta es la Matriz (ampliada) a la que queremos llegar

12

Que representa esto

De una manera más formal es llevar a nuestra matriz a una matriz escalonada reducida:

Decimos que una matriz esta de esta manera cuando ademas de lo arriba, para cualquier pivote toda esa columna (sin contarlo a el mismo) es nulo.

redox.png

Estos si son matrices escalonadas reducidas

Algoritmo en si:

  1. Nos ubicamos en una fila y vemos un elemento
  2. Si ese elemento cero:
    1. Entonces encárgate de buscar en los elementos de abajo de esa columna el primer elemento que no sea cero, y cambia la fila y ve al paso 3.1.
    2. Si no encuentras colócate en la siguiente columna de la misma fila en la que estabas y regresa al paso 1.
  3. Si no es cero, tenemos nuestro pivote:
    1. Dividir toda la fila entre ese numero para que el elemento sea uno.
    2. Hay que encargarnos de hacer toda esa columna (menos ese elemento) sea cero.
  4. Una vez que acabes, colócate en la siguiente fila, en el lugar de la columna en la que estabas mas uno y regresa al paso 1

Código

Soy un estudiante de sistemas computacionales, así que la manera más fácil para mi de entender algo es viendo código, así que te muestro.

Palomitas.png


Tipos de Sistemas

Hay también otra característica de la que ya hemos hablado antes, la dependencia e independencia lineal, un tema bastante difícil, pero también muy importante, y es que las ecuaciones también pueden serlo, veamos:

Sistemas Independientes

Son aquellos que NO contienen ecuaciones dependientes. Y por lo tanto tiene máximo una solución.

Sistemas Dependientes

Son aquellos que SI contienen  (incluso si no son todas) ecuaciones dependientes.

Bajo esta clasificación existen muchos ejemplo erróneos, así que apoyando de imágenes de la Fundación WhyU podemos llegar a ver sus características:

  • Un sistema Dependiente  de 2 ecuaciones es fácil de ver, ya que ambas tiene que ser o bien la misma o múltiplos de la misma:
  • Un sistema Dependiente  de más de 2 ecuaciones no tiene porque ser múltiplo para ser dependiente, mas bien hay que buscar que una sea una combinación lineal de las otras (o de algunas otras):

Captura de pantalla 2017-02-25 a las 11.24.27 p.m..png

  • Un sistema Dependiente  NO tiene porque tener soluciones infinitas:

captura-de-pantalla-2017-02-25-a-las-11-27-46-p-m

  • Un sistema Dependiente  PUEDE no tener solución:

Captura de pantalla 2017-02-25 a las 11.30.13 p.m..png

Podemos usar Gauss Jordan para saber si un sistema es dependiente.


Ejemplos:

Los mejores ejemplos de estos temas los he encontrado viendo esta serie, de verdad, si saben ingles, vean este video, no se van a arrepentir.

Fuentes.png

Da click, no te vas a arrepentir

Determinantes

NOTA: ESTO SOLO SIRVE PARA MATRICES CUADRADAS

Hola, considero muy muy importante que hay hayas entendido como funcionan las matrices gracias a las entradas anteriores porque esto se va a poner bueno :3

El determinante es una herramienta que usamos para entender una propiedad rápida de una transformación lineal: ¿Qué tanto expando o comprime el espacio?

Si lo único que me importará fuera saber si es que mi espacio acaba de “crecer” o “reducirse” usamos los determinantes:

De forma formal (jajaja) podemos definir el determinante como:

“La razón de cambio entre el área de cierto objeto antes y después de la transformación lineal”

Captura de pantalla 2017-02-11 a las 12.41.26 p.m..png

Osea, la determinante se puede entender mejor con la pregunta ¿Qué área tendrá un cuadrado de 1×1 tras la transformación lineal?

Por ejemplo el determinante de esta transformación es 6:

13.gif

Y por más sorprendente que parezca el área en esta transformación no se afecta, es decir el determinante es uno.

12.gif


Determinante = 0

Así que el determinante valga cero dice que se a ELIMINADO UNA DIMENSION, ES DECIR QUE TIENE AREA = 0 EN 2D, O VOLUMEN = 0 EN 3D.

14.gif


¿Determinante Negativa?

Simplemente dice que la transformación “giro” el plano, eso es todo.

15.gif


¿Cómo encuentro el Determinante?

En 2D

1.png

image01


En 3D

a1.png

image02

image00.png


Propiedades de los Determinantes

Es muy útil saber sacar el determinante, pero no lo es todo, veamos algunas propiedades:

La Determinante de la Transpuesta es igual que la Original

1

Transpuestas

Podemos sacar cosas de los Determinantes

partes

Separar de una multiplicación

de

Sacar un Factor

base

Separar una suma

¿Esta determinante valdrá Cero?

Si dos filas/columnas son proporcionales significa que el determinante valdrá cero:

cero

Si es que existe UNA fila/columna que es combinación lineal de TODAS las demás:

captura-de-pantalla-2017-02-14-a-las-8-12-15-a-m

Si existe una fila/columna que sea nula:

cero

Operaciones Elementales en Matrices

SWAP:

Si intercambio una fila/columna el determinante cambia de signo, pero el valor sigue igual:

a

Corolario: Si haces un SWAP en la matriz identidad su determinante siempre es -1.

SCALE:

Si escalas una fila o columna el determinante se escala por esa misma cantidad

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 8.57.34 a.m.

Ejemplo:

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 8.57.16 a.m.

PIVOT:

Y finalmente, y ademas muy importante es que si hacemos una operación del estilo:

jala

El Determinante NO cambia su valor, pero hay que dejar a una fila/columna fuera, sino volvemos a la propiedad de la dependencia lineal que nos da cero.

Separar en Combinación Lineal

Podemos elegir alguna fila o columna y hacer el siguiente proceso, dando como resultado que la determinante se conserva.

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 9.31.43 a.m.

Pero no solo podemos hacer eso, sino que podemos hacer una combinación lineal de las filas o comunas, mira el siguiente ejemplo:

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 9.47.37 a.m.


¿Cómo Calcular Determinantes Inmensos?

Paso 0: Aplica pseudo “Gauss – Jordan” a tu matriz inmensa.

Paso 1: Usando esta idea para calcular matrices diagonales o triangulares(Si también aplica a matrices triangulares) (la idea sale de hacer n SCALES, y PIVOT)

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 9.50.51 a.m.

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 9.24.41 a.m.

 

 

 


Determinantes y Vectores Canónicos

Un vector cántico de Rn es una matriz fila / columna de mx1 o 1xn donde todos sus elementos son ceros excepto uno que es el uno del campo.

*Considere que están en R3

a2

Un vector canino tiene la siguiente forma:

a1

a3.png

Recordando esto podemos usarlo para llegar a este pequeño tip:

El Determinante eliminando la fila o columna es igual:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 9.50.39 a.m.

Es decir, al hacer el cofactor de un vector canónico el resultado ES el determinante.

 

 


CoFactores

Esta idea la podemos generalizar de esta manera:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 1.39.45 p.m.

Oto elemento muy importante es el menor, que no es más que la Matriz en si del cofactor.

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 1.46.19 p.m.

 

 


Matriz Adjunta

Es la Matriz de Cofactores transpuesta, así de sencillo, vayamos por pasos mostrando:

Primero Calculemos La Matriz de Cofactores:

Esta matriz es una matriz donde cada elemento es el cofactor de esa posición, veamos un ejemplo:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.38.52 p.m.

Tomemos una Matriz y su Determinante

 

Después hagamos cofactores:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.38.58 p.m.

 

Y esta Matriz (y su transpuesta se vería así):

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.39.25 p.m.

 

Y finalmente si dividimos esta matriz entre su determinante, tenemos su inversa:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.39.34 p.m.


Teorema Fundamental de las Adjuntas

“La Matriz Original por su Adjunta es la Identidad por el Determinante de la Original”

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.46.12 p.m..png

 

 

 

 


Regla de Cramer

La regla de Cramer es otra forma que tenemos de encontrar la solución de un sistema lineal  de ecuaciones, pero esta vez usando lo que ya sabemos de los determinantes:

Veamos como hacerlo:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 5.03.50 p.m.

Matriz Ampliada cualquiera

 

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 5.04.22 p.m.

Determinantes Necesarias a calcular

 

Y así las respuestas son tan sencillas como:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 5.04.32 p.m.

Soluciones Pro : p

 

 

 

 

 

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Matrices: Todo lo que necesitas saber

Fuentes.png

Una matriz, como ya vimos antes puede ser aproximada desde dos puntos de vista:

Ven te daré un repaso:

Transformaciones Lineales

Siendo muy general para cualquier transformada tenemos que:

i

Es decir, la formula completa de cualquier transformada lineal en dos dimensiones sería:

rans

Y así tu colocas en la entrada cualquier vector y obtendrás la posición de ese vector tras la transformada lineal, y si te das cuenta, TODA la información de dicha transformación puede ser resumida en 4 números.

De hecho esto es tan importante que muchas veces los agrupamos juntos, y generamos lo que se conoce como una matriz:

matriz

Que no es más que juntar toda la información (osea las coordenadas de los vectores básico) tras una transformación lineal. Y con esto tenemos encapsulada TODA la información que existe sobre la transformación entre estos corchetes.

¿Quieres saber más?¿No me entendiste un comino? ¡Ve la Lección Pasada!

  • Una tabla con valores

Y ya, no hay mucho mas interesante que contar de este forma de verlo.

De cualquier manera, lo importante ahora ya no es que son, sino como podemos jugar con ellas, veamos:


Simbología para una Matriz

Esto es una Matriz:

  • Con Mayúscula se denota a la Matriz.
  • Con minúscula se denota a cada elemento dentro de ella.

Fisica.png

También podemos hablar de un elemento en especial de esta manera:Fisica-3.png


Tamaño

Una matriz de m filas por n columnas.

a


Dividirlas

Podemos dividirlas usando la idea de que podemos dividir a todas las matrices en 4 partes:

multi-2multi

Si las dividimos de esta manera tenemos que nuestras nuevas 4 submatrices son:

a

En palabras esto quiere decir que:

  • Primero vamos a hacer una partición que abarque desde a1,1 hasta am1,n1
  • Después vamos a hacer una partición que abarque desde a1,n1 hasta am1,n2
  • Después vamos a hacer una partición que abarque desde am1,1 hasta am2,n1
  • Finalmente vamos a hacer una partición que abarque desde am1,n1 hasta am2,n2

Clasificación de Matrices

b.png

Rectangulares:

fila .png


Cuadradas

Estas son las más interesante porque tienen una forma geométrica genial y es que cualquier matriz cuadrada encierra TODA la información de una transformación lineal de n dimensiones (Incluso si no me entendiste, tienes que admitir que suena cool) 

Y podemos hablar mucho de las matrices cuadras, para empezar las dos diagonales:

Fisica.png

Y gracias a estas diagonales podemos crear las matrices triángulos que son las que del otro lado de una matriz son todo ceros:

Fisica-2.png

Y son las combinamos tenemos dos cosas muy importantes:

b.png

La Matriz Identidad

Esta es una matriz muy importante porque esta encapsula una transformación lineal en la que todo sigue igual, osea la transformación lineal más aburrida de todas.

a.png


Operaciones

Recuerda que en las siguientes dos operación SOLO se pueden realizar si son matrices del mismo orden.

a.png

resta.png


Multiplicación

1486397897592.jpg

Empecemos por lo MÁS MÁS BÁSICO 

Resorte.png

Para multiplicar 2 matrices tenemos que estar seguro de lo siguiente:

  • La matriz A debe ser de m x n
  • La matriz B debe ser de n x p

Y por lo tanto la matriz tendrá un orden m x p

Además hay que recordar que NO ES CONMUTATIVA ESTA OPERACIÓN.

a.gif

Este GIF deberán explicarlo lo suficientemente bien.

¿Y que significa esa Operación?

Recuerda que en una matriz esta toda la información de una transformación lineal, así que si la multiplicación por un vector cualquiera obtener la posición de ese nuevo vector, con la formula que hicimos en la lección pasada:

refinal

La vieja confiable fórmula para matrices : ,)

Podemos entender una multiplicación de matrices simplemente como la “composición” de  dos transformaciones lineales:

Captura de pantalla 2017-02-26 a las 6.49.53 p.m..png

Es decir, en vez de aplicar primero una transformación y luego la otra (lo cual a la larga es mucho trabajo) mejor primero saca esa composición de matrices.

Y eso es lo que significa multiplicar matrices, es encontrar una composición,  de ahí que no sea transitiva, no es lo mismo hacer primero una rotación y luego estirar el espacio, que hacerlo pero al revés.


Matriz Transpuesta

Una matriz transpuesta es una matriz igualita a A donde cada coordenada esta cambiada,mas bien esta girada, déjame me explico con dos elementos:

a.png

2.png

3.png


Simétrica

“Es una matriz cuya transpuesta es igual a si misma”

Para lograr verificar que es simétrica, hay que tener en cuenta estas ideas:

  • Debe ser cuadrada
  • Ignora la diagonal
  • Comprueba una a una las demás

captura-de-pantalla-2017-02-07-a-las-1-44-01-a-m

multi.png


Antisimétrica

“Es una matriz cuya transpuesta es igual a si misma (por -1)”

Para lograr verificar que es simétrica, hay que tener en cuenta estas ideas:

  • Debe ser cuadrada
  • Ignora la diagonal
  • Comprueba una a una las demás

e.png


Dependencia Lineal

La dependencia lineal de una matriz es justo lo que vimos en la clase pasada (QUE DEBERIAS VER SI NO LA HAS VISTO ¡YA!)

Repaso 1:

Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o “sean” sigue siendo exactamente igual.

dependencial.png

Es decir que podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w.

Repaso 2:

Hay algo muy importante y también curioso que recordar y es que puede pasar que en nuestra transformación ambos vectores resultantes sean dependientes, en ese caso, tenemos que la transformación aprieta a todo el espacio 2D en una sola línea

lineal34.gif

Bueno, ahora si vamos con las matrices en si:

RECUERDA QUE COMO YA VIMOS LAS TRASPUESTAS LO QUE VOY A DECIR PARA LAS COLUMNAS TAMBIEN SIRVE PARA LAS FILAS. LA DEPENDENCIA LINEAL LA CONSERVA UNA TRASPUESTA.

rac.png

Ahora lo único que deberíamos buscar es que podamos expresar un vector como la suma de los otros 2.

1


Rango

Es una operación que nos permite calcular el número de filas / columnas linealmente independientes.

Operaciones Elementales

Para lograr esto se usa lo que se conoce como operaciones elementales, las operaciones elementales son operaciones en las que NO se afecta el rango.

1.- Intercambio de Filas / Columnas

real

2.- Filas / Columnas por un escalar (n no debe ser 0)

captura-de-pantalla-2017-02-08-a-las-2-19-43-p-m

3.- Suma  Filas / Columnas y producto por otra

4

Podemos unir las 2 ultimas operaciones y así quedarnos con 2 operaciones:

5

Rango por Gauss

Para hacerlo, vamos a tener que realizando operaciones elementales llegar a una matriz triangular, como esta:

Fisica-2.png

En resumen las operaciones que tenemos permitidos usar son:

  • Permutar una fila/columna
  • Multiplicar una fila/columna por un escalar
  • Sumarle a una fila/columna otra fila/columna multiplicada por un escalar
  • Eliminar filas proporcionales o nulas

Cuando lleguemos a nuestra matriz triangular nuestro rango será el numero de filas/columnas que no sean nulas.

Veamos un ejemplo:

1

Recuerda que tenemos que hacer todos los circulitos a que valgan a cero.

Así que empecemos:

a5a4a3a2a1

Y ya, como viste así podemos llegar y concluir que el rango es el número de columnas/filas que NO sean nulos.



Matrices Inversas

1.png

Recuerda otra vez que una matriz no es más que la información de una transformación lineal, así que podemos pensar en una características más de estas.

¿Existe una transformación que revierta lo que acabo de hacer?

19.gif

Si claro que existe y se llama obviamente la transformación inversa, así si tenemos una matriz, tenemos una matriz inversa.

¿Cómo demonios las calculo?

Algo genial del método de gauss es que nos da una forma muy fácil de calcularla, tenemos que seguir los siguiente pasos:

Paso 1: Dibujar nuestra zona de batalla.

Esta cosa se llama “matrices ampliadas”, de un lado tenemos a nuestra matriz y del otro a la matriz identidad.

a1.png

Paso 2: Transformar a la Matriz X en nuestra Matriz Identidad, usando las operaciones elementales y en general el Método de Gauss, veamos un ejemplo:

inversa1inversa2inversa3inversa4inversa5inversa6

Inversa y el Determinante

Si una matriz es invertible, es decir tiene inversa entonces su determinante es diferente de cero. Y a la inversa, si s determinante es diferente de cero entonces tiene que tener una inversa.

…Tienen que admitir esa relación es simplemente genial.

La Inversa y la solución de Ecuaciones

Teoremas:

  • Si una matriz es invertible, siempre el sistema homogéneo de esa matriz tiene una única solución, y también en el sentido opuesto, basta con encontrar que tiene solución única para saber que es invertible.
  • Si una matriz es invertible o tiene un sistema homogéneo con solución única, podemos decir que el sistema tiene solución para cualquier vector en el campo.

Podemos usar la inversa también para encontrar las soluciones:

Captura de pantalla 2017-03-08 a las 9.36.57 a.m..png

Podemos decir entonces que la solución de cualquier matriz (siempre que tenga inversa) es:

Captura de pantalla 2017-03-08 a las 9.46.55 a.m.


Vectores Canónicos

Un vector cántico de Rn es una matriz fila / columna de mx1 o 1xn donde todos sus elementos son ceros excepto uno que es el uno del campo.

*Considere que están en R3

a2

Un vector canino tiene la siguiente forma:

a1

a3.png


Código que hace Todo Esto

Palomitas.png

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Transformaciones Lineales

 

Fuentes-2.png

 

Recuerda que si quieres un texto mas formal y con ejemplos de la vida real solo da click:

ApuntesDe-2

Ya hemos visto de matrices de muchas otras maneras pero ahora vamos a verlas desde un punto de vista completamente nuevo.

Este tema es de suma importancia, es la píldora que hace que todo empiece a tener sentido, así que empecemos por el nombre, y como dijo Morfeo:

morfeo

“Lamentablemente nadie te puede decir que es la Matriz, tienes que verlo con tus propios ojos”

Introducción

Una Transformación es un palabra “rara” para hablar de funciones. Una transformación es  una función que recibe un vector, lo modifica y regresa otro vector.

Entonces ¿Porqué usar la palabra “transformación”?  Porque es muy común y sobretodo útil hablar de estas operaciones mediante el movimiento, transformada quiere decir movimiento. Es decir nos imaginamos ver como se movería nuestro vector inicial esta su posición final:

plano.gif

Como ves se puede poner algo pesado, así que vamos a usar las líneas para que no se vea tan complicado.

Además recuerda que estamos hablando de transformaciones LINEALES  así que estas son bastantes sencillas, una transformación lineal es si:

  • Todas las líneas tendrán que seguir siendo lineal después de la transformación, después de todo se llama transformación lineal.
  • El origen tiene que seguir en el mismo punto.

 

A continuación te muestro varias transformaciones que NO son lineales:

Caso 1: Hace las líneas curvas. Así de sencillo, si eran lineas, deberán seguir siendo lineas.

lineal30

No Lineal por las curvas

Caso 2: Se mueve el origen, y es que aunque todo lo demás funcione, si el origen no esta bien colocado entonces no funciona.

lineal31

No Lineal por mover el origen


Transformaciones Lineales

 

Lineal3

Sea V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo campo K. Una transformación lineal de V → W es una función que cumpla con esto:

Lineal1

Combinación Lineal

Podemos tambien tener que como consecuencia de lo que tenemos arriba que podemos encontrar que T es una transformación lineal si y solo si se cumple que:

Lineal2

Así que para probar que una T es o no transformación lineal basta con verificar que se cumplan las 2 propiedades originales.


Propiedades

  • El 0v se preserva: Una Transformación Lineal debe llevar al 0v de V al 0v de W
  • Operador Lineal: Decimos que T (alguna transformación lineal) es un operador lineal en V si y solo si su dominio y su contradominio son el mismo.


Kernel

Definición

El Kernel de una Transformación Lineal o Núcleo es el conjunto de todos los vectores originales (osea v ∈ V ) tales que al momento de aplicarles la transformación estos son llevados al origen (osea 0w)

O dicho con el bello lenguaje de matemáticas:

Kernek2

Recuerda que un Kernel siempre siempre sera un Subespacio Vectorial y solemos llamar a su dimensión la ’Nulidad’.

Podemos decir que el Kernel es el espacio solución del Sistema Homogéneo.

 


Imagen

Tambien tenemos a la hermana perdida del Kernel, la llamamos la Imágen, la cual la definimos así:

Definición

La imágen de una Transformación Lineal es el conjunto de todos los vectores nuevos (osea w ∈ W ) que podemos ’crear’ desde los vectores originales (osea v ∈ V ) usando la Transformación Lineal.

Kernek1

 

Recuerda que una Imagen siempre siempre sera un Espacio Vectorial y solemos llamar a su dimensión ’Rango’.

Podemos decir que el Imagen es el conjunto de terminos independientes para los cuales hay solución.

 


Propiedades de Ambas

Podemos hablar de que ambas paracen ser como hermanas perdidas, veamos que pro- piedades tenemos:

  • Llamemos Rango a Dim(Imagen(T ))
  • Llamemos Nulidad a Dim(Kernel(T ))
  • Ambas Son SubEspacios Vectoriales.

Estas de acuerdo que todos los vectores o bien son llevados al cero vector o no, así que tiene sentido hablar de que La Suma de la Nulidad con el Rango te da la dimensión de V

 

 

 

 

 



Parte Grafica

Hay unas muy fáciles de describir, como la traslación, otras que es mucho más fácil ver que contar.

Piensa en las transformaciones lineales como aquellas que hacen que queden las lineas paralelas y que tengan un espacio igual entre todas ellas.

lineal33

Rotaciones con eje en el origen

lineal34

No tengo ni puta idea de como describir esto

…Bueno, bueno, bueno, todo muy cool, pero ¿Cómo hago matemáticamente para describir esto?

out

Bueno, pues resulta que solo basta con saber donde quedan dos vectores para conocer donde quedan todos los vectores posibles en el plano: Los básicos.

basicos

La vieja confiable

Tomemos un vector de ejemplo y hagamos una transformación lineal:

inicio

Inicio v=-1i + 2j

lineal35

Desarrollo

final

Final v=-1i + 2j

Lo primero en lo que deberíamos fijarnos es que la representación numérica no cambio, es decir: v= -1i + 2j sigue describiendo a nuestro vector amarillo ¡Genial!

j

trans = Tras la Transformación Lineal

Esto es la clave a todo, porque solo basta con encontrar la relación entre nuestros vectores básicos originales i y j y nuestro nuevos vector básicos i y j transformada y tenemos todo este misterio resuelto.

menu.png

Esto lo podemos expresar de manera numérica como:

trasns

O siendo muy general para cualquier transformada tenemos que:

i

Es decir, la formula completa de cualquier transformada lineal en dos dimensiones sería:

rans

Y así tu colocas en la entrada cualquier vector y obtendrás la posición de ese vector tras la transformada lineal, y si te das cuenta, TODA la información de dicha transformación puede ser resumida en 4 números.

De hecho esto es tan importante que muchas veces los agrupamos juntos, y generamos lo que se conoce como una matriz:

matriz

Que no es más que juntar toda la información (osea las coordenadas de los vectores básico) tras una transformación lineal. Y con esto tenemos encapsulada TODA la información que existe sobre la transformación entre estos corchetes.

Es decir podemos entonces definir la multiplicación como:

final

Y reacomodando un poco podemos llegar a:

refinal

La vieja confiable fórmula para matrices : ,)

lineal30.gif

Ejemplo de forma gráfica. La matriz te da la transformación.


Ejemplos

Veamos unas de las transformaciones mas comunes usando lo que acabamos de aprender.

Girar 90º

lineal31.gif

Matriz que gira 90 grados el espacio

Corte o Shear

lineal32.gif

Matriz que “aprieta el espacio”


¿Y a la inversa?

¿Y si lo quisiera hacer al revés? Osea, teniendo los números imaginarme como sería la transformación.

La respuesta es muy sencilla, ve primero como mueve el espacio un vector básico a la vez, primero i y luego j, y listo.

lineal33.gif

Primero i y luego j

Hay algo muy importante y también curioso que recordar y es que puede pasar que ambos vectores resultantes sean dependientes, en ese caso, tenemos que la transformación aprieta a todo el espacio 2D en una sola línea

lineal34.gif

Volvamos en 2D un 1D

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Combinaciones Lineales

fuentes-2

MUCHOS GIFS, ESTO VA A TARDAR EN CARGAR, PERO VALE LA PENA

Antes que hablar de ellos quiero dejar claro que los Sistemas de Coordenadas, ahí esta la clave, primero que nada, veamos el que ya conocemos:

Sistema Rectangular

rectangular.png

Visual

vec.png

Abstracta

Este es el sistema rectangular, tiene dos vectores base que tienen el tamaño de una unidad y que apuntan en la dirección de los ejes. Es el que hemos ocupado toda la vida.

…La pregunta increíble aquí es : ¿Qué pasaría si hubiera elegido otros vectores base?

Por ejemplo, digamos estos 2:

base.png

Nuevos vectores base

¿A qué lugar del plano podríamos alcanzar solo multiplicando y sumando esos vectores?

pla.gif

¡A todos lados!

A menos que seamos demasiado estúpidos (osea que elijamos dos vectores que apunten hacia el mismo lugar) ¡Cualquier par de vectores puede servir para generar un nuevo Sistema de Coordenadas! , en donde tus dos vectores que elegiste son tus vectores base.

Y lo más curioso de todo esto es que la representación abstracta cambia, los números que describen a un mismo vector cambian si cambias el sistema de coordenadas.

scalar.gif

Los números cambian

Pero ya veremos eso más a fondo luego.


Combinación Lineal

Cada vez que vayas “escalando” y sumando dos vectores cualquiera lo llamamos combinación lineal.

lineas.png

Donde A y B son números normales.

¿Porqué se llama así? Pues no es la razón original, pero hace poco aprendí que si dejas uno de esos fijo y vas variando el otro escalar obtienes un linea recta:

a

Y si ahora dejas que ambos se muevan de manera libre, como ya vimos arriba ¡Cubren todo el espacio! Bueno, mejor, seamos un poco más estrictos y veamos las posibilidades:

Caso 1: Si se alinean. Si resulta que ambos vectores se alinean, osea que el ángulo entre ellos es 0, entonces solo nos podemos mover una una linea que pasa por el origen.

Este caso también ocurre si UNO Y SOLO UNO de tus vectores es 0.

1.png

Caso 2: Si NO se alinean. Casi seguro no te va a tocar la mala suerte de elegir dos vectores que se alinean, y si es que hay un ángulo entre ellos, aunque sea minúsculo, entonces resulta que como vimos antes puedes acceder a todos los lugares del plano.

2.png

Caso 3: Eres un punto. Si ambos vectores valen cero, antes… Bueno, estas atrapado en el origen. Por estúpido.

3

Rango o Span 

Este termino es básicamente el conjunto de todos puntos que puedes tocar usando los dos vectores que escogiste. Es una forma de preguntar ¿En qué caso me encuentro?

Podemos verlo desde otra manera, en especial en el caso 1, pues si imaginamos el rango del caso de un vector y un punto obtenemos que es una linea que cursa el origen, y si luego añadimos otro vector que se encuentra en ese rango entonces, las cosas no cambian. Sigues solo pudiendo  acceder a esa línea. Esta idea es muy importante, tanto que tiene sus propios conceptos.


Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o “sean” sigue siendo exactamente igual.

dependencial.png

Es decir que podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w.

Y como cada cosa tiene su opuesto entonces tenemos que si cada vector de verdad añade una dimensión más a nuestro rango ,si nuestro vector no es inútil entonces tenemos que es:

independncia.png

Es decir que podemos NO podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w, sin importar que números A y B elijamos, será imposible.

…Con toda esta terminología, finalmente podemos terminar la introducción de este curso y decir que:

“Los vectores base de un espacio vectorial son el conjunto de vectores linealmente independientes que recorren todo el espacio”

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Introducción a Álgebra Lineal

fuentes-2

MUCHOS GIFS, ESTO VA A TARDAR EN CARGAR, PERO VALE LA PENA

“Difícilmente hay algo tan bonito como Álgebra Lineal, a pesar de las generaciones y generaciones de profesores y alumnos que han oscurecido su belleza y simplicidad con sus cálculos horribles sobre matrices.”

Un tipo muy sabio (Jean Dieudonné)

Este tipo lo decía enserio, si te das cuenta esta es una de las pocas materias que es necesario para casi todo.

  • ¿Eres Físico? La necesitas.
  • ¿Eres computólogo/ ingeniero? La necesitas.
  • ¿Eres matemático? ¿Biologo? ¿Economista? La necesitas.

La finalidad básica del álgebra lineal es la que hacer que conceptos y grandes cantidades de información sean “analizables”, su objetivo es ayudar a encontrar esos patrones que son muy difíciles de ver si lo vieras los números.

Su objetivo es:

analizar.gif

Desbloquear la magia dentro de los números


Vectores

Como te darás cuenta pronto los vectores son la base del álgebra lineal, los bloques con lo que construirás todo, la materia que habita este universo. Así que antes que nada, es hora de entenderlos un poco mejor.

Puntos de Vista

Pero, tenemos un problema: Es que depende de en que contexto estemos hablando podemos hablar de 3 puntos de vista diferentes:

Físico: Por un lado podemos hablar usando al física, en la cual los vectores son “flechas”, son herramientas que nos permiten visualizar o hacer cálculos sobre algo físico, algo real.

vectores-copia

Físicos

Ingeniería: Si estás estudiando computación, quizá te interese más la forma de verlo en solo son una forma “cool” de decir listas de números.  Sirven para agrupar datos y ya…No tiene ninguna descripción en el mundo real , sólo son un montón de números juntos.

vectores

Ingeniero

Matemáticos: Hay algo también muy importante y es que para los matemáticos, un vector es cualquier cosa en la que exista la suma entre estas entidades y multiplicación por un escalar.

vectores-copia-2

Matemático

… Los matemáticos buscan generalizar ambos puntos de vista, así que para hacerlo se centran en estas dos operaciones (luego les contaré porque exactamente porque).

Además ya desde ahora podemos encontrar una pequeña relación entre ambos puntos de vista:

vector

Unión de ambas visiones

Podemos hacer que nuestras listas de números (perspectiva de los ingenieros) dibuje una flecha en el plano.

Y de igual manera podemos hacer que nuestra flecha sea asociada con un conjunto de números.


Operaciones Super Básicas

Con esta idea podemos adentrarnos más en las operaciones que definen a los vectores:

Suma

Sumar dos vectores da como resultado otro vector. Ok, eso es obvio. Si lo vemos por el lado geométrico tenemos que:

suma.png

Metodo del rectángulo lo llaman

Y si lo vemos analíticamente tenemos que:

lineal.png


Multiplicación por un Escalar

Cuando tu multiplicas un vector por un número normal , lo que obtienes es un vector, pero este ha sido “escalado”, es decir, el número real ha hecho a tu vector más grande o pequeño (dependiendo de si es mayor o menor que uno) o incluso puede hacer que cambie de dirección (dependiendo de si es mayor o menor que cero).

escalar

“Escalar” un vector

Este número “escala” a tu vector, y por eso en muchos caso decir que es un “escalar”. (A mi me exploto la cabeza la primera vez que lo supe, es tan obvio y sin embargo nunca lo había pensado).

Visto de forma numérica tenemos que:

mult.png

Antes que hablar de los espacios vectoriales quiero dejar claro que los Sistemas de Coordenadas, ahí esta la clave, primero que nada, veamos el que ya conocemos:

Sistema Rectangular

rectangular.png

Visual

vec.png

Abstracta

Este es el sistema rectangular, tiene dos vectores base que tienen el tamaño de una unidad y que apuntan en la dirección de los ejes. Es el que hemos ocupado toda la vida.

…La pregunta increíble aquí es : ¿Qué pasaría si hubiera elegido otros vectores base?

Por ejemplo, digamos estos 2:

base.png

Nuevos vectores base

¿A qué lugar del plano podríamos alcanzar solo multiplicando y sumando esos vectores?

pla.gif

¡A todos lados!

A menos que seamos demasiado estúpidos (osea que elijamos dos vectores que apunten hacia el mismo lugar) ¡Cualquier par de vectores puede servir para generar un nuevo Sistema de Coordenadas! , en donde tus dos vectores que elegiste son tus vectores base.

Y lo más curioso de todo esto es que la representación abstracta cambia, los números que describen a un mismo vector cambian si cambias el sistema de coordenadas.

scalar.gif

Los números cambian

Pero ya veremos eso más a fondo luego.


Combinación Lineal

Cada vez que vayas “escalando” y sumando dos vectores cualquiera lo llamamos combinación lineal.

lineas.png

Donde A y B son números normales.

¿Porqué se llama así? Pues no es la razón original, pero hace poco aprendí que si dejas uno de esos fijo y vas variando el otro escalar obtienes un linea recta:

a.gif

Y si ahora dejas que ambos se muevan de manera libre, como ya vimos arriba ¡Cubren todo el espacio! Bueno, mejor, seamos un poco más estrictos y veamos las posibilidades:

Caso 1: Si se alinean. Si resulta que ambos vectores se alinean, osea que el ángulo entre ellos es 0, entonces solo nos podemos mover una una linea que pasa por el origen.

Este caso también ocurre si UNO Y SOLO UNO de tus vectores es 0.

1.png

Caso 2: Si NO se alinean. Casi seguro no te va a tocar la mala suerte de elegir dos vectores que se alinean, y si es que hay un ángulo entre ellos, aunque sea minúsculo, entonces resulta que como vimos antes puedes acceder a todos los lugares del plano.

2.png

Caso 3: Eres un punto. Si ambos vectores valen cero, antes… Bueno, estas atrapado en el origen. Por estúpido.

3

Rango o Span 

Este termino es básicamente el conjunto de todos puntos que puedes tocar usando los dos vectores que escogiste. Es una forma de preguntar ¿En qué caso me encuentro?

Podemos verlo desde otra manera, en especial en el caso 1, pues si imaginamos el rango del caso de un vector y un punto obtenemos que es una linea que cursa el origen, y si luego añadimos otro vector que se encuentra en ese rango entonces, las cosas no cambian. Sigues solo pudiendo acceder a esa línea. Esta idea es muy importante, tanto que tiene sus propios conceptos.


Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o sean sigue siendo exactamente igual.

dependencial.png

Es decir que podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w.

Y como cada cosa tiene su opuesto entonces tenemos que si cada vector de verdad añade una dimensión más a nuestro rango ,si nuestro vector no es inútil entonces tenemos que es:

independncia.png

Es decir que podemos NO podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w, sin importar que números A y B elijamos, será imposible.

…Con toda esta terminología, finalmente podemos terminar la introducción de este curso y decir que:

“Los vectores base de un espacio vectorial son el conjunto de vectores linealmente independientes que recorren todo el espacio”

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