Introducción a Álgebra Lineal

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MUCHOS GIFS, ESTO VA A TARDAR EN CARGAR, PERO VALE LA PENA

“Difícilmente hay algo tan bonito como Álgebra Lineal, a pesar de las generaciones y generaciones de profesores y alumnos que han oscurecido su belleza y simplicidad con sus cálculos horribles sobre matrices.”

Un tipo muy sabio (Jean Dieudonné)

Este tipo lo decía enserio, si te das cuenta esta es una de las pocas materias que es necesario para casi todo.

  • ¿Eres Físico? La necesitas.
  • ¿Eres computólogo/ ingeniero? La necesitas.
  • ¿Eres matemático? ¿Biologo? ¿Economista? La necesitas.

La finalidad básica del álgebra lineal es la que hacer que conceptos y grandes cantidades de información sean “analizables”, su objetivo es ayudar a encontrar esos patrones que son muy difíciles de ver si lo vieras los números.

Su objetivo es:

analizar.gif

Desbloquear la magia dentro de los números


Vectores

Como te darás cuenta pronto los vectores son la base del álgebra lineal, los bloques con lo que construirás todo, la materia que habita este universo. Así que antes que nada, es hora de entenderlos un poco mejor.

Puntos de Vista

Pero, tenemos un problema: Es que depende de en que contexto estemos hablando podemos hablar de 3 puntos de vista diferentes:

Físico: Por un lado podemos hablar usando al física, en la cual los vectores son “flechas”, son herramientas que nos permiten visualizar o hacer cálculos sobre algo físico, algo real.

vectores-copia

Físicos

Ingeniería: Si estás estudiando computación, quizá te interese más la forma de verlo en solo son una forma “cool” de decir listas de números.  Sirven para agrupar datos y ya…No tiene ninguna descripción en el mundo real , sólo son un montón de números juntos.

vectores

Ingeniero

Matemáticos: Hay algo también muy importante y es que para los matemáticos, un vector es cualquier cosa en la que exista la suma entre estas entidades y multiplicación por un escalar.

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Matemático

… Los matemáticos buscan generalizar ambos puntos de vista, así que para hacerlo se centran en estas dos operaciones (luego les contaré porque exactamente porque).

Además ya desde ahora podemos encontrar una pequeña relación entre ambos puntos de vista:

vector

Unión de ambas visiones

Podemos hacer que nuestras listas de números (perspectiva de los ingenieros) dibuje una flecha en el plano.

Y de igual manera podemos hacer que nuestra flecha sea asociada con un conjunto de números.


Operaciones Super Básicas

Con esta idea podemos adentrarnos más en las operaciones que definen a los vectores:

Suma

Sumar dos vectores da como resultado otro vector. Ok, eso es obvio. Si lo vemos por el lado geométrico tenemos que:

suma.png

Metodo del rectángulo lo llaman

Y si lo vemos analíticamente tenemos que:

lineal.png


Multiplicación por un Escalar

Cuando tu multiplicas un vector por un número normal , lo que obtienes es un vector, pero este ha sido “escalado”, es decir, el número real ha hecho a tu vector más grande o pequeño (dependiendo de si es mayor o menor que uno) o incluso puede hacer que cambie de dirección (dependiendo de si es mayor o menor que cero).

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“Escalar” un vector

Este número “escala” a tu vector, y por eso en muchos caso decir que es un “escalar”. (A mi me exploto la cabeza la primera vez que lo supe, es tan obvio y sin embargo nunca lo había pensado).

Visto de forma numérica tenemos que:

mult.png

Antes que hablar de los espacios vectoriales quiero dejar claro que los Sistemas de Coordenadas, ahí esta la clave, primero que nada, veamos el que ya conocemos:

Sistema Rectangular

rectangular.png

Visual

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Abstracta

Este es el sistema rectangular, tiene dos vectores base que tienen el tamaño de una unidad y que apuntan en la dirección de los ejes. Es el que hemos ocupado toda la vida.

…La pregunta increíble aquí es : ¿Qué pasaría si hubiera elegido otros vectores base?

Por ejemplo, digamos estos 2:

base.png

Nuevos vectores base

¿A qué lugar del plano podríamos alcanzar solo multiplicando y sumando esos vectores?

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¡A todos lados!

A menos que seamos demasiado estúpidos (osea que elijamos dos vectores que apunten hacia el mismo lugar) ¡Cualquier par de vectores puede servir para generar un nuevo Sistema de Coordenadas! , en donde tus dos vectores que elegiste son tus vectores base.

Y lo más curioso de todo esto es que la representación abstracta cambia, los números que describen a un mismo vector cambian si cambias el sistema de coordenadas.

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Los números cambian

Pero ya veremos eso más a fondo luego.


Combinación Lineal

Cada vez que vayas “escalando” y sumando dos vectores cualquiera lo llamamos combinación lineal.

lineas.png

Donde A y B son números normales.

¿Porqué se llama así? Pues no es la razón original, pero hace poco aprendí que si dejas uno de esos fijo y vas variando el otro escalar obtienes un linea recta:

a.gif

Y si ahora dejas que ambos se muevan de manera libre, como ya vimos arriba ¡Cubren todo el espacio! Bueno, mejor, seamos un poco más estrictos y veamos las posibilidades:

Caso 1: Si se alinean. Si resulta que ambos vectores se alinean, osea que el ángulo entre ellos es 0, entonces solo nos podemos mover una una linea que pasa por el origen.

Este caso también ocurre si UNO Y SOLO UNO de tus vectores es 0.

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Caso 2: Si NO se alinean. Casi seguro no te va a tocar la mala suerte de elegir dos vectores que se alinean, y si es que hay un ángulo entre ellos, aunque sea minúsculo, entonces resulta que como vimos antes puedes acceder a todos los lugares del plano.

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Caso 3: Eres un punto. Si ambos vectores valen cero, antes… Bueno, estas atrapado en el origen. Por estúpido.

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Rango o Span 

Este termino es básicamente el conjunto de todos puntos que puedes tocar usando los dos vectores que escogiste. Es una forma de preguntar ¿En qué caso me encuentro?

Podemos verlo desde otra manera, en especial en el caso 1, pues si imaginamos el rango del caso de un vector y un punto obtenemos que es una linea que cursa el origen, y si luego añadimos otro vector que se encuentra en ese rango entonces, las cosas no cambian. Sigues solo pudiendo acceder a esa línea. Esta idea es muy importante, tanto que tiene sus propios conceptos.


Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o sean sigue siendo exactamente igual.

dependencial.png

Es decir que podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w.

Y como cada cosa tiene su opuesto entonces tenemos que si cada vector de verdad añade una dimensión más a nuestro rango ,si nuestro vector no es inútil entonces tenemos que es:

independncia.png

Es decir que podemos NO podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w, sin importar que números A y B elijamos, será imposible.

…Con toda esta terminología, finalmente podemos terminar la introducción de este curso y decir que:

“Los vectores base de un espacio vectorial son el conjunto de vectores linealmente independientes que recorren todo el espacio”

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