Determinantes

NOTA: ESTO SOLO SIRVE PARA MATRICES CUADRADAS

Hola, considero muy muy importante que hay hayas entendido como funcionan las matrices gracias a las entradas anteriores porque esto se va a poner bueno :3

El determinante es una herramienta que usamos para entender una propiedad rápida de una transformación lineal: ¿Qué tanto expando o comprime el espacio?

Si lo único que me importará fuera saber si es que mi espacio acaba de “crecer” o “reducirse” usamos los determinantes:

De forma formal (jajaja) podemos definir el determinante como:

“La razón de cambio entre el área de cierto objeto antes y después de la transformación lineal”

Captura de pantalla 2017-02-11 a las 12.41.26 p.m..png

Osea, la determinante se puede entender mejor con la pregunta ¿Qué área tendrá un cuadrado de 1×1 tras la transformación lineal?

Por ejemplo el determinante de esta transformación es 6:

13.gif

Y por más sorprendente que parezca el área en esta transformación no se afecta, es decir el determinante es uno.

12.gif


Determinante = 0

Así que el determinante valga cero dice que se a ELIMINADO UNA DIMENSION, ES DECIR QUE TIENE AREA = 0 EN 2D, O VOLUMEN = 0 EN 3D.

14.gif


¿Determinante Negativa?

Simplemente dice que la transformación “giro” el plano, eso es todo.

15.gif


¿Cómo encuentro el Determinante?

En 2D

1.png

image01


En 3D

a1.png

image02

image00.png


Propiedades de los Determinantes

Es muy útil saber sacar el determinante, pero no lo es todo, veamos algunas propiedades:

La Determinante de la Transpuesta es igual que la Original

1

Transpuestas

Podemos sacar cosas de los Determinantes

partes

Separar de una multiplicación

de

Sacar un Factor

base

Separar una suma

¿Esta determinante valdrá Cero?

Si dos filas/columnas son proporcionales significa que el determinante valdrá cero:

cero

Si es que existe UNA fila/columna que es combinación lineal de TODAS las demás:

captura-de-pantalla-2017-02-14-a-las-8-12-15-a-m

Si existe una fila/columna que sea nula:

cero

Operaciones Elementales en Matrices

SWAP:

Si intercambio una fila/columna el determinante cambia de signo, pero el valor sigue igual:

a

Corolario: Si haces un SWAP en la matriz identidad su determinante siempre es -1.

SCALE:

Si escalas una fila o columna el determinante se escala por esa misma cantidad

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 8.57.34 a.m.

Ejemplo:

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 8.57.16 a.m.

PIVOT:

Y finalmente, y ademas muy importante es que si hacemos una operación del estilo:

jala

El Determinante NO cambia su valor, pero hay que dejar a una fila/columna fuera, sino volvemos a la propiedad de la dependencia lineal que nos da cero.

Separar en Combinación Lineal

Podemos elegir alguna fila o columna y hacer el siguiente proceso, dando como resultado que la determinante se conserva.

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 9.31.43 a.m.

Pero no solo podemos hacer eso, sino que podemos hacer una combinación lineal de las filas o comunas, mira el siguiente ejemplo:

Captura de pantalla 2017-03-15 a las 9.47.37 a.m.


¿Cómo Calcular Determinantes Inmensos?

Paso 0: Aplica pseudo “Gauss – Jordan” a tu matriz inmensa.

Paso 1: Usando esta idea para calcular matrices diagonales o triangulares(Si también aplica a matrices triangulares) (la idea sale de hacer n SCALES, y PIVOT)

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 9.50.51 a.m.

Captura de pantalla 2017-03-13 a las 9.24.41 a.m.

 

 

 


Determinantes y Vectores Canónicos

Un vector cántico de Rn es una matriz fila / columna de mx1 o 1xn donde todos sus elementos son ceros excepto uno que es el uno del campo.

*Considere que están en R3

a2

Un vector canino tiene la siguiente forma:

a1

a3.png

Recordando esto podemos usarlo para llegar a este pequeño tip:

El Determinante eliminando la fila o columna es igual:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 9.50.39 a.m.

Es decir, al hacer el cofactor de un vector canónico el resultado ES el determinante.

 

 


CoFactores

Esta idea la podemos generalizar de esta manera:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 1.39.45 p.m.

Oto elemento muy importante es el menor, que no es más que la Matriz en si del cofactor.

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 1.46.19 p.m.

 

 


Matriz Adjunta

Es la Matriz de Cofactores transpuesta, así de sencillo, vayamos por pasos mostrando:

Primero Calculemos La Matriz de Cofactores:

Esta matriz es una matriz donde cada elemento es el cofactor de esa posición, veamos un ejemplo:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.38.52 p.m.

Tomemos una Matriz y su Determinante

 

Después hagamos cofactores:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.38.58 p.m.

 

Y esta Matriz (y su transpuesta se vería así):

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.39.25 p.m.

 

Y finalmente si dividimos esta matriz entre su determinante, tenemos su inversa:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.39.34 p.m.


Teorema Fundamental de las Adjuntas

“La Matriz Original por su Adjunta es la Identidad por el Determinante de la Original”

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 2.46.12 p.m..png

 

 

 

 


Regla de Cramer

La regla de Cramer es otra forma que tenemos de encontrar la solución de un sistema lineal  de ecuaciones, pero esta vez usando lo que ya sabemos de los determinantes:

Veamos como hacerlo:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 5.03.50 p.m.

Matriz Ampliada cualquiera

 

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 5.04.22 p.m.

Determinantes Necesarias a calcular

 

Y así las respuestas son tan sencillas como:

Captura de pantalla 2017-03-27 a las 5.04.32 p.m.

Soluciones Pro : p

 

 

 

 

 

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