Combinaciones Lineales

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MUCHOS GIFS, ESTO VA A TARDAR EN CARGAR, PERO VALE LA PENA

Antes que hablar de ellos quiero dejar claro que los Sistemas de Coordenadas, ahí esta la clave, primero que nada, veamos el que ya conocemos:

Sistema Rectangular

rectangular.png

Visual

vec.png

Abstracta

Este es el sistema rectangular, tiene dos vectores base que tienen el tamaño de una unidad y que apuntan en la dirección de los ejes. Es el que hemos ocupado toda la vida.

…La pregunta increíble aquí es : ¿Qué pasaría si hubiera elegido otros vectores base?

Por ejemplo, digamos estos 2:

base.png

Nuevos vectores base

¿A qué lugar del plano podríamos alcanzar solo multiplicando y sumando esos vectores?

pla.gif

¡A todos lados!

A menos que seamos demasiado estúpidos (osea que elijamos dos vectores que apunten hacia el mismo lugar) ¡Cualquier par de vectores puede servir para generar un nuevo Sistema de Coordenadas! , en donde tus dos vectores que elegiste son tus vectores base.

Y lo más curioso de todo esto es que la representación abstracta cambia, los números que describen a un mismo vector cambian si cambias el sistema de coordenadas.

scalar.gif

Los números cambian

Pero ya veremos eso más a fondo luego.


Combinación Lineal

Cada vez que vayas “escalando” y sumando dos vectores cualquiera lo llamamos combinación lineal.

lineas.png

Donde A y B son números normales.

¿Porqué se llama así? Pues no es la razón original, pero hace poco aprendí que si dejas uno de esos fijo y vas variando el otro escalar obtienes un linea recta:

a

Y si ahora dejas que ambos se muevan de manera libre, como ya vimos arriba ¡Cubren todo el espacio! Bueno, mejor, seamos un poco más estrictos y veamos las posibilidades:

Caso 1: Si se alinean. Si resulta que ambos vectores se alinean, osea que el ángulo entre ellos es 0, entonces solo nos podemos mover una una linea que pasa por el origen.

Este caso también ocurre si UNO Y SOLO UNO de tus vectores es 0.

1.png

Caso 2: Si NO se alinean. Casi seguro no te va a tocar la mala suerte de elegir dos vectores que se alinean, y si es que hay un ángulo entre ellos, aunque sea minúsculo, entonces resulta que como vimos antes puedes acceder a todos los lugares del plano.

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Caso 3: Eres un punto. Si ambos vectores valen cero, antes… Bueno, estas atrapado en el origen. Por estúpido.

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Rango o Span 

Este termino es básicamente el conjunto de todos puntos que puedes tocar usando los dos vectores que escogiste. Es una forma de preguntar ¿En qué caso me encuentro?

Podemos verlo desde otra manera, en especial en el caso 1, pues si imaginamos el rango del caso de un vector y un punto obtenemos que es una linea que cursa el origen, y si luego añadimos otro vector que se encuentra en ese rango entonces, las cosas no cambian. Sigues solo pudiendo  acceder a esa línea. Esta idea es muy importante, tanto que tiene sus propios conceptos.


Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o “sean” sigue siendo exactamente igual.

dependencial.png

Es decir que podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w.

Y como cada cosa tiene su opuesto entonces tenemos que si cada vector de verdad añade una dimensión más a nuestro rango ,si nuestro vector no es inútil entonces tenemos que es:

independncia.png

Es decir que podemos NO podemos expresar a nuestro vector como la combinación lineal de w, sin importar que números A y B elijamos, será imposible.

…Con toda esta terminología, finalmente podemos terminar la introducción de este curso y decir que:

“Los vectores base de un espacio vectorial son el conjunto de vectores linealmente independientes que recorren todo el espacio”

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