Transformaciones Lineales

 

Fuentes-2.png

 

Recuerda que si quieres un texto mas formal y con ejemplos de la vida real solo da click:

ApuntesDe-2

Ya hemos visto de matrices de muchas otras maneras pero ahora vamos a verlas desde un punto de vista completamente nuevo.

Este tema es de suma importancia, es la píldora que hace que todo empiece a tener sentido, así que empecemos por el nombre, y como dijo Morfeo:

morfeo

“Lamentablemente nadie te puede decir que es la Matriz, tienes que verlo con tus propios ojos”

Introducción

Una Transformación es un palabra “rara” para hablar de funciones. Una transformación es  una función que recibe un vector, lo modifica y regresa otro vector.

Entonces ¿Porqué usar la palabra “transformación”?  Porque es muy común y sobretodo útil hablar de estas operaciones mediante el movimiento, transformada quiere decir movimiento. Es decir nos imaginamos ver como se movería nuestro vector inicial esta su posición final:

plano.gif

Como ves se puede poner algo pesado, así que vamos a usar las líneas para que no se vea tan complicado.

Además recuerda que estamos hablando de transformaciones LINEALES  así que estas son bastantes sencillas, una transformación lineal es si:

  • Todas las líneas tendrán que seguir siendo lineal después de la transformación, después de todo se llama transformación lineal.
  • El origen tiene que seguir en el mismo punto.

 

A continuación te muestro varias transformaciones que NO son lineales:

Caso 1: Hace las líneas curvas. Así de sencillo, si eran lineas, deberán seguir siendo lineas.

lineal30

No Lineal por las curvas

Caso 2: Se mueve el origen, y es que aunque todo lo demás funcione, si el origen no esta bien colocado entonces no funciona.

lineal31

No Lineal por mover el origen


Transformaciones Lineales

 

Lineal3

Sea V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo campo K. Una transformación lineal de V → W es una función que cumpla con esto:

Lineal1

Combinación Lineal

Podemos tambien tener que como consecuencia de lo que tenemos arriba que podemos encontrar que T es una transformación lineal si y solo si se cumple que:

Lineal2

Así que para probar que una T es o no transformación lineal basta con verificar que se cumplan las 2 propiedades originales.


Propiedades

  • El 0v se preserva: Una Transformación Lineal debe llevar al 0v de V al 0v de W
  • Operador Lineal: Decimos que T (alguna transformación lineal) es un operador lineal en V si y solo si su dominio y su contradominio son el mismo.


Kernel

Definición

El Kernel de una Transformación Lineal o Núcleo es el conjunto de todos los vectores originales (osea v ∈ V ) tales que al momento de aplicarles la transformación estos son llevados al origen (osea 0w)

O dicho con el bello lenguaje de matemáticas:

Kernek2

Recuerda que un Kernel siempre siempre sera un Subespacio Vectorial y solemos llamar a su dimensión la ’Nulidad’.

Podemos decir que el Kernel es el espacio solución del Sistema Homogéneo.

 


Imagen

Tambien tenemos a la hermana perdida del Kernel, la llamamos la Imágen, la cual la definimos así:

Definición

La imágen de una Transformación Lineal es el conjunto de todos los vectores nuevos (osea w ∈ W ) que podemos ’crear’ desde los vectores originales (osea v ∈ V ) usando la Transformación Lineal.

Kernek1

 

Recuerda que una Imagen siempre siempre sera un Espacio Vectorial y solemos llamar a su dimensión ’Rango’.

Podemos decir que el Imagen es el conjunto de terminos independientes para los cuales hay solución.

 


Propiedades de Ambas

Podemos hablar de que ambas paracen ser como hermanas perdidas, veamos que pro- piedades tenemos:

  • Llamemos Rango a Dim(Imagen(T ))
  • Llamemos Nulidad a Dim(Kernel(T ))
  • Ambas Son SubEspacios Vectoriales.

Estas de acuerdo que todos los vectores o bien son llevados al cero vector o no, así que tiene sentido hablar de que La Suma de la Nulidad con el Rango te da la dimensión de V

 

 

 

 

 



Parte Grafica

Hay unas muy fáciles de describir, como la traslación, otras que es mucho más fácil ver que contar.

Piensa en las transformaciones lineales como aquellas que hacen que queden las lineas paralelas y que tengan un espacio igual entre todas ellas.

lineal33

Rotaciones con eje en el origen

lineal34

No tengo ni puta idea de como describir esto

…Bueno, bueno, bueno, todo muy cool, pero ¿Cómo hago matemáticamente para describir esto?

out

Bueno, pues resulta que solo basta con saber donde quedan dos vectores para conocer donde quedan todos los vectores posibles en el plano: Los básicos.

basicos

La vieja confiable

Tomemos un vector de ejemplo y hagamos una transformación lineal:

inicio

Inicio v=-1i + 2j

lineal35

Desarrollo

final

Final v=-1i + 2j

Lo primero en lo que deberíamos fijarnos es que la representación numérica no cambio, es decir: v= -1i + 2j sigue describiendo a nuestro vector amarillo ¡Genial!

j

trans = Tras la Transformación Lineal

Esto es la clave a todo, porque solo basta con encontrar la relación entre nuestros vectores básicos originales i y j y nuestro nuevos vector básicos i y j transformada y tenemos todo este misterio resuelto.

menu.png

Esto lo podemos expresar de manera numérica como:

trasns

O siendo muy general para cualquier transformada tenemos que:

i

Es decir, la formula completa de cualquier transformada lineal en dos dimensiones sería:

rans

Y así tu colocas en la entrada cualquier vector y obtendrás la posición de ese vector tras la transformada lineal, y si te das cuenta, TODA la información de dicha transformación puede ser resumida en 4 números.

De hecho esto es tan importante que muchas veces los agrupamos juntos, y generamos lo que se conoce como una matriz:

matriz

Que no es más que juntar toda la información (osea las coordenadas de los vectores básico) tras una transformación lineal. Y con esto tenemos encapsulada TODA la información que existe sobre la transformación entre estos corchetes.

Es decir podemos entonces definir la multiplicación como:

final

Y reacomodando un poco podemos llegar a:

refinal

La vieja confiable fórmula para matrices : ,)

lineal30.gif

Ejemplo de forma gráfica. La matriz te da la transformación.


Ejemplos

Veamos unas de las transformaciones mas comunes usando lo que acabamos de aprender.

Girar 90º

lineal31.gif

Matriz que gira 90 grados el espacio

Corte o Shear

lineal32.gif

Matriz que “aprieta el espacio”


¿Y a la inversa?

¿Y si lo quisiera hacer al revés? Osea, teniendo los números imaginarme como sería la transformación.

La respuesta es muy sencilla, ve primero como mueve el espacio un vector básico a la vez, primero i y luego j, y listo.

lineal33.gif

Primero i y luego j

Hay algo muy importante y también curioso que recordar y es que puede pasar que ambos vectores resultantes sean dependientes, en ese caso, tenemos que la transformación aprieta a todo el espacio 2D en una sola línea

lineal34.gif

Volvamos en 2D un 1D

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