Aproximaciones de Áreas

Sumas de Riemann

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann (da!) para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Estas se basan en dividir tu curva en muchos fragmentos o rectángulos iguales, cuya base mide dx, o Delta X y cuya altura es la valuar la función en ese punto.

Donde n es el número de pedazos a dividir.

Forma Gráfica

Formas de Hacerlo:

Paso común:

Encuentra la longitud de la base usando la siguiente fórmula:

Usando la Izquierda

Usando la Derecha

Usando el Intermedio

Usando Trapecios

Recuerda que estamos usando trapecios, así que podemos usar esta fórmula:

Así que podemos simplificar a esto (confía en mi, 100% seguro):

Forma de Simpson

…Creéme a todos nos cuesta entender porque funciona esto.

Longitud de Arco

Diagrama

Podemos deducir la fórmula con este diagrama de manera muy fácil:

Fórmula para Longitud de Arco

Áreas Superficiales  

Para una F(x) sobre Eje X

Para una F(x) sobre el Eje Y

Para una F(y) sobre el Eje X

Para una F(y) sobre el Eje Y

Áreas 

La aplicación mas intuitiva de las integrales son la de haya el área bajo la curva, de hecho esta muy ligado a su definición:

Cambio de una Función: Derivada

Imaginate la siguiente función.

Si alguien malvado te preguntará (alguien malvado…) ¿Dónde esta el punto máximo en esa función?

Tenemos varias opciones:

• Podemos tabular algunos valores hasta encontrar uno que creamos que sea el máximo (o mínimo).
• Podemos graficar y empezar a tantear por donde esta el máximo.
• Llorar, llorar siempre es una opción.

…O ser inteligente y usar el calculo para encontrar la respuesta:

*Tu función debería ser continua en el intervalo en el que estés pensando para que lo que vaya a decir tenga sentido…digo, sino no tiene sentido nada de lo que digo.*

Función Creciente y Decreciente

• Si la derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función esta creciendo en x.

• Si la derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función esta decreciendo en x.

Puntos Críticos

Podemos definir entonces que los puntos críticos de nuestra función son cuando:

• Nuestra primera derivada es cero (es decir, no crece ni decrece).

• Nuestra primera esta indeterminada.

Gracias a lo que vimos podemos sacar la derivada y obtener muchas respuestas:

Como que de la última formula podemos saber que la función:

•  Siempre va a crecer desde -1 a 0 y desde el 2 al infinito.
• Siempre va a decrecer desde el menos infinito hasta el -1 y también desde 0 hasta 2.

Concavidad: Segunda Derivada

Así como la primera derivada nos muestra sobre como va la función, si crece o decrece, la segunda derivada, nos habla de como cambian esos aumentos y reducciones.

Esto se conoce en matemáticas como Concavidad.

Tipos de Concavidad (Palabrería)

Puntos importantes en la Gráfica

Concavidad Hacia Arriba / Abajo

• Si la segunda derivada en x es mayor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia arriba.

• Si la segunda derivada en x es menor a cero entonces quiere decir que la función tiene una concavidad hacia abajo.

• Punto de Inflexión: Podemos decir entonces que un punto de inflexión es cuando la concavidad de la función cambia.

Teorema de Fermat (quien sabe cual sea)

Si una función f(x) tiene un máximo o mínimo cuando x = c, entonces x = c es también un punto crítico.

Máximos y Mínimos (Receta de Cocina):

Así que si queremos encontrar los máximos o mínimos:

1. Calcular los puntos críticos, es decir derivar f(x)  
2. f’(x) =0 , es decir Igualar a 0 la 1° Derivada
3. Resolver la ecuación (que salir del paso 2) y obtener las raíces
4. Calcular la segunda derivada
5. Sustituir las raíces en la 2° derivada y comparar resultados

• Si Resultado < 0 Máximo
• Si Resultado > 0 Mínimo

Puedes acceder al texto original, si le picas en PDF:

Texto de Referencia

Dado una función de f(x), tenemos dos diferenciales, y estos guardan una relación muy importante, recuerda que tenemos dos notaciones para la derivada:

Esto nos dice algo super genial: La derivada no es más que la razón entre dos diferenciales.

Así que gracias a esto podemos sacar la relación entre estas diferenciales, por ejemplo para la diferencial de y:

Veamos algunos ejemplos:

Diferenciales y Margen de Error

Ahora podemos ocupar los diferenciales para encontrar errores:

Ejemplos de Aplicaciones

Esfera: Una esfera fue medida y su radio es de 21 u con un error posible máximo de 0.05 u. Calcula el posible error máximo.