Ecuaciones Diferenciales Lineales

Son las que siguen este patrón:

PRIMER PASO: FACTOR INTEGRANTE

Hay que multiplicar toda la ecuación por una factor especial (factor integrante), este se calcula así:

Este es el Factor Integrante

¿Y de donde sale esta fórmulita?

Esta fórmula para encontrar el factor integrante se puede obtener de suponer que existe un factor integrante, y que si lo multiplicamos en la ecuación original tendríamos que:

Ademas podremos ver que esta expresión es valida:

Comparando ambas ecuaciones tenemos que:

Por lo tanto:

SEGUNDO PASO: ENTENDER EL DESPEJE

Multiplicar toda la ecuación por este término, y ve que el termino de la izquierda se puede SIEMPRE simplificar como derivación de un producto.

Podemos automatizar el siguiente proceso llegando a esta formula maestra:

Encontrando el gran formulazo

TERCER PASO: APLICAR EL FORMULAZO

Así, en resumen si tienes una ecuación diferencial lineal la solución siempre será:

MEGA FORMULAZO SI NO OLVIDAS EN +C

• PD: Nunca olvides el +C, ¡NUNCA OLVIDES EL +C!
• PD2: Nunca olvides esto:

Ejemplo:

Paso 1:

Paso 2 y 3:

Ecuaciones Lineales Homogéneas 

Podemos hacer una excepción cuando Q(x) = 0, en este caso podemos reducir todo el proceso y encontrar que la solución simplemente es:

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma:

Bernoulli papa

Es mejor conocida como la ecuación de Bernoulli.

Vemos que cuando  n=0 ó n=1 se reduce a una ecuación lineal que ya hemos estudiado antes. (Así que no nos interesaría). Pero sino es ninguno de estos dos casos, entonces se puede hacer esto:

¿Cómo resolverla?

PASO 1: ELIMINAR POTENCIAS

Vamos dividir ambos lados entre y^n y hacemos una sustitución u= y^(1-n):

PASO 2 : SUSTITUCIÓN PAPU

Ahora aplicamos la siguiente sustitución y sustituimos en la original:

Paso 3: SOLUCIONAMOS COMO LINEAL

Esta última ecuación se convierte en lineal en la función u(y) si multiplicamos ambos lados por (1-n):

Buscando una forma más fácil de Solucionarlas

PASO 1: FACTOR INTEGRANTE

Vemos que el factor integrante es:

PASO 2: ENTENDER EL DESPEJE  FORMULAZO

Por lo tanto, la solución viene dada por:

PASO 3: APLICAR FORMULAZO

Finalmente, deshacemos el cambio y llegamos a una formula super genial:

La maestra

Ejemplo:

Veamos la ecuación:

Encontremos el factor integrante:

Apliquemos formulazo:

Ecuación de Ricatti

Cuando tienes una ecuación como esta resulta que es imposible resolvería con lo que sabemos hasta ahora, así que tendremos que pensar de otra manera:

Para resolver una de estas NECESITAMOS una solución particular, ya que sin eso, es imposible hacer nada.

Pensemos en y₁ como una de las soluciones.

PASO 1: PROBAR LA SOLUCIÓN

Prueba que y₁ sea una solución.

PASO 2: DA EL CAMBIO PARA QUE SEA LINEAL

PASO 3: SOLUCIONA COMO LINEAL Y REGRESA A «y» AL FINAL

Ejemplo:

Hagamos esta Ecuación Lineal

Las soluciones salen de Ecu. Lineales

Primero empecemos con algo que nos vendría muy útil aplicarlo siempre que podamos, las:

Ecuaciones de Variable Separada

Resulta que hay muchas maneras de escribir estas ecuaciones, podemos ir de una forma a otra con algo de álgebra, pero para que las conozcan les pondré sus formas mas conocidas:

Veamos como resolverlas:

PASO 0: ORDENA TU ECUACIÓN

El paso más largo de resolver esta ecuación es curiosamente colocar tu ecuación de la manera en la que esta arriba:

FORMA 1:

FORMA 2:

PASO 1: INTEGRA CON RESPECTO A CADA DIFERENCIAL

Ya que la has llevado a la forma necesaria, basta con hacer esto:

Ejemplo:

Dada la siguiente ecuación, despejamos e integramos como dijimos arriba:

Y ya al final solo ponemos a nuestra respuesta bonita :3

De Ecuaciones Homogéneas a Separables

Si una ecuación tiene esta propiedad entonces cumple con esta característica tan rara:

Si tu evaluar esa función con «x» y «y» multiplicada por una constante t eres capaz de reescribir tu función para factorial esa t (elevada a alguna potencia) entonces decimos que tu ecuación es homogénea.

Y decimos ese es de grado algo, osea, que si ese algo es cero, es de homogénea de grado cero, si es dos es homogénea de grado dos y así.

Una ecuación diferencial de primer grado se dice que es homogénea si es que cumple con que ambas funciones M(x,y) y N(x,y) sea homogéneas y del MISMO grado.

¿Y porqué me debería interesar un comino eso?

Porque podemos hacer CUALQUIERA de los siguientes cambios de variable y podemos reducir esta ecuación a una de variables separadas.

Ejemplo:

Reducción Separación de Variables

Si tenemos una ecuación del estilo

SIEMPRE se puede reducir a una de variables separadas cuando este cambio.

Y que se existe una función f(u), luego sacas su diferencial df(u) e igualas a dy/dx. Finalmente ya solo resuelves por variables separadas.

Ejemplo:

Ecuación Diferenciales Exactas

Son las que podemos denotar de la manera:

Para estar seguro que sean ecuaciones exactas, tenemos que hacer un paso más y es que:

Forma de comprobar

Si esto es cierto entonces podemos hablar entonces que tanto M(x,y) como N(x,y) son derivadas parciales de una función más básica, una f(x,y):

Esta es la verdadera identidad de nuestras funciones

Así que nuestro objetivo es ahora encontrarla:

Forma de solucionarlas

Ejemplo:

Para comprobarlas basta con sacar la diferencial de esta función, recuerdas como es que era para una función normal:

Diferencial Normal

Entonces para nuestra función sería algo así:

De aquí sacamos nuestra ecuación original

Forzar una Ecuación Exacta

Pero… y si quisiera que la ecuación que tengo fuera exacta, pero no lo es ¿Puedo «forzar» a que lo sea?

Mu es la salvación

Pues si y no.

Para empezar, hay que encontrar si a nuestra ecuación la podemos forzar a ser, hay que encontrar el… Factor Integrante.

Para encontrarlo hay dos opciones, que sea por x o por y, así que veamos ambos casos:

Caso de X – Factor de X

Si el Factor es una función de X se tiene que cumplir que la siguiente operaciones nos arroje una función que solo depende de X.

Y entonces nuestro factor se puede calcular de manera muy fácil como:

Caso de Y – Factor de Y

Si el Factor es una función de Y se tiene que cumplir que la siguiente operaciones nos arroje una función que solo depende de Y.

Y entonces nuestro factor se puede calcular de manera muy fácil como:

Ahora vamos a hacer nuestra Ecuación Exacta

Y ahora, ya solo hay que multiplicar tu ecuación por ese factor y ahora tu nueva ecuación (SI TIENES TIEMPO COMPRUEBALA) es seguro que es exacta. 100% real, no fake.

Con esta nueva ecuación diferencial que ya es exacta, solo basta con usar el mismo método que el normal.

Veamos un ejemplo MUY resumido:

¡Hora de Teoría y Definiciones!

Ecuación Diferencial

«Es una ecuación que contiene una derivada»

Se le llama ecuación diferencial a una ecuación en la que se liga a la variable X y a una función incógnita f(X) y sus derivadas y’ , y», etc…

Ejemplos

Términos Útiles de Conocer:

Ecuación Ordinaria: Si la función depende de una sola variable independiente entonces se dice que la  ecuación se llama ordinaria.

Orden de una Ecuación: El orden de una ecuación diferencial es el «orden» de la derivada mayor que existe en la ecuación.

Aqui hay un error .. ¿Lo encuentras ? 😉

¿Cuál es la Solución de estas Ecuaciones?

La solución de cualquier ecuación diferencial es una función que al ser sustituida en la ecuación diferencial esta cumple.

Ejemplo:

Proceso de resolver una ecuación diferencial

Y por lo tanto TODAS estas son soluciones

… pero esto solo nos trae más preguntas.

Existencia y Unicidad

¿Todas las ecuaciones diferenciales tienen solución? ¿Existen ecuaciones que tienen más de una solución?

• Existencia: ¿Existe una solución al problema ?
• Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única posible?

Estas son preguntas muy importantes, así que vayamos por partes:

Teorema de Existencia y Unicidad

Este toerma nos indica cuando una ecuación diferencial de primer orden tiene solo una solución, (dada una condición inicial) , esta condición inicial es la clave:

Esto se tiene que cumplir para que exista una solución en el recinto:

En resumen si tanto la función como su derivada parcial con respecto a y son continuas entonces es seguro que existe una solución en el intervalo, sino es así entonces no es seguro que exista solo una solución en este intervalo.

Muchos de estos problemas tiene este estilo y se les conoce como problemas de condición inicial:

Tipos de Soluciones

Así que podemos hablar de dos tipos de soluciones, las particulares y las generales.

• Solución General: Es una función que soluciona nuestra ecuación diferencial, y que la mismo tiempo tiene un +c.

• Solución Particular: Es una función que soluciona nuestra ecuación diferencial, y que no tiene ninguna + c.

Ejemplo:

Veamos un ejemplo de una ecuación que tiene muchísimas (infinitas) soluciones:

Algunas soluciones

Para que solo obtengamos una solución podemos poner una condición inicial como:

Y ahora solo tenemos una única solución valida: