Ecuaciones Diferenciales Lineales

Son las que siguen este patrón:

PRIMER PASO: FACTOR INTEGRANTE

Hay que multiplicar toda la ecuación por una factor especial (factor integrante), este se calcula así:

¿Y de donde sale esta fórmulita?

Esta fórmula para encontrar el factor integrante se puede obtener de suponer que existe un factor integrante, y que si lo multiplicamos en la ecuación original tendríamos que:

Ademas podremos ver que esta expresión es valida:

Comparando ambas ecuaciones tenemos que:

 

Por lo tanto:

SEGUNDO PASO: ENTENDER EL DESPEJE

Multiplicar toda la ecuación por este término, y ve que el termino de la izquierda se puede SIEMPRE simplificar como derivación de un producto.

Podemos automatizar el siguiente proceso llegando a esta formula maestra:

TERCER PASO: APLICAR EL FORMULAZO

Así, en resumen si tienes una ecuación diferencial lineal la solución siempre será:

• PD: Nunca olvides el +C, ¡NUNCA OLVIDES EL +C!
• PD2: Nunca olvides esto:

Ejemplo:

Paso 1:

Paso 2 y 3:

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Ecuaciones Lineales Homogéneas 

Podemos hacer una excepción cuando Q(x) = 0, en este caso podemos reducir todo el proceso y encontrar que la solución simplemente es:

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Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma:

Es mejor conocida como la ecuación de Bernoulli.

Vemos que cuando  n=0 ó n=1 se reduce a una ecuación lineal que ya hemos estudiado antes. (Así que no nos interesaría). Pero sino es ninguno de estos dos casos, entonces se puede hacer esto:

¿Cómo resolverla?

PASO 1: ELIMINAR POTENCIAS

Vamos dividir ambos lados entre y^n y hacemos una sustitución u= y^(1-n):

PASO 2 : SUSTITUCIÓN PAPU

Ahora aplicamos la siguiente sustitución y sustituimos en la original:

Paso 3: SOLUCIONAMOS COMO LINEAL

Esta última ecuación se convierte en lineal en la función u(y) si multiplicamos ambos lados por (1-n):

 

Buscando una forma más fácil de Solucionarlas

PASO 1: FACTOR INTEGRANTE

Vemos que el factor integrante es:

PASO 2: ENTENDER EL DESPEJE  FORMULAZO

Por lo tanto, la solución viene dada por:

PASO 3: APLICAR FORMULAZO

Finalmente, deshacemos el cambio y llegamos a una formula super genial:

Ejemplo:

Veamos la ecuación:

Encontremos el factor integrante:

Apliquemos formulazo:

 

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Ecuación de Ricatti

Cuando tienes una ecuación como esta resulta que es imposible resolvería con lo que sabemos hasta ahora, así que tendremos que pensar de otra manera:

Para resolver una de estas NECESITAMOS una solución particular, ya que sin eso, es imposible hacer nada.

Pensemos en y₁ como una de las soluciones.

PASO 1: PROBAR LA SOLUCIÓN

Prueba que y₁ sea una solución.

PASO 2: DA EL CAMBIO PARA QUE SEA LINEAL

PASO 3: SOLUCIONA COMO LINEAL Y REGRESA A «y» AL FINAL

Ejemplo: