Ecuaciones Diferenciales Lineales
Son las que siguen este patrón:
PRIMER PASO: FACTOR INTEGRANTE
Hay que multiplicar toda la ecuación por una factor especial (factor integrante), este se calcula así:

Este es el Factor Integrante
¿Y de donde sale esta fórmulita?
Esta fórmula para encontrar el factor integrante se puede obtener de suponer que existe un factor integrante, y que si lo multiplicamos en la ecuación original tendríamos que:
Ademas podremos ver que esta expresión es valida:
Comparando ambas ecuaciones tenemos que:
Por lo tanto:
SEGUNDO PASO: ENTENDER EL DESPEJE
Multiplicar toda la ecuación por este término, y ve que el termino de la izquierda se puede SIEMPRE simplificar como derivación de un producto.
Podemos automatizar el siguiente proceso llegando a esta formula maestra:

Encontrando el gran formulazo
TERCER PASO: APLICAR EL FORMULAZO
Así, en resumen si tienes una ecuación diferencial lineal la solución siempre será:

MEGA FORMULAZO SI NO OLVIDAS EN +C
- PD: Nunca olvides el +C, ¡NUNCA OLVIDES EL +C!
- PD2: Nunca olvides esto:
Ejemplo:
Paso 1:
Paso 2 y 3:
Ecuaciones Lineales Homogéneas
Podemos hacer una excepción cuando Q(x) = 0, en este caso podemos reducir todo el proceso y encontrar que la solución simplemente es:
Ecuación de Bernoulli
Una ecuación diferencial de la forma:

Bernoulli papa
Es mejor conocida como la ecuación de Bernoulli.
Vemos que cuando n=0 ó n=1 se reduce a una ecuación lineal que ya hemos estudiado antes. (Así que no nos interesaría). Pero sino es ninguno de estos dos casos, entonces se puede hacer esto:
¿Cómo resolverla?
PASO 1: ELIMINAR POTENCIAS
Vamos dividir ambos lados entre y^n y hacemos una sustitución u= y^(1-n):
PASO 2 : SUSTITUCIÓN PAPU
Ahora aplicamos la siguiente sustitución y sustituimos en la original:
Paso 3: SOLUCIONAMOS COMO LINEAL
Esta última ecuación se convierte en lineal en la función u(y) si multiplicamos ambos lados por (1-n):
Buscando una forma más fácil de Solucionarlas
PASO 1: FACTOR INTEGRANTE
Vemos que el factor integrante es:
PASO 2: ENTENDER EL DESPEJE FORMULAZO
Por lo tanto, la solución viene dada por:
PASO 3: APLICAR FORMULAZO
Finalmente, deshacemos el cambio y llegamos a una formula super genial:

La maestra
Ejemplo:
Veamos la ecuación:
Encontremos el factor integrante:
Apliquemos formulazo:
Ecuación de Ricatti
Cuando tienes una ecuación como esta resulta que es imposible resolvería con lo que sabemos hasta ahora, así que tendremos que pensar de otra manera:
Para resolver una de estas NECESITAMOS una solución particular, ya que sin eso, es imposible hacer nada.
Pensemos en y1 como una de las soluciones.
PASO 1: PROBAR LA SOLUCIÓN
Prueba que y1 sea una solución.
PASO 2: DA EL CAMBIO PARA QUE SEA LINEAL
PASO 3: SOLUCIONA COMO LINEAL Y REGRESA A «y» AL FINAL
Ejemplo:

Hagamos esta Ecuación Lineal

Las soluciones salen de Ecu. Lineales