Lineales, Bernoulli y Ricatti

 

 

fuentespersonas

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Son las que siguen este patrón:

12.png

PRIMER PASO: FACTOR INTEGRANTE

Hay que multiplicar toda la ecuación por una factor especial (factor integrante), este se calcula así:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 5.37.38 p.m..png

Este es el Factor Integrante

¿Y de donde sale esta fórmulita?

Esta fórmula para encontrar el factor integrante se puede obtener de suponer que existe un factor integrante, y que si lo multiplicamos en la ecuación original tendríamos que:

CodeCogsEqn (7).png

Ademas podremos ver que esta expresión es valida:

CodeCogsEqn (8).png

Comparando ambas ecuaciones tenemos que:

 \mu(x)P(x)y=y\dfrac{d \mu(x)}{dx}

Por lo tanto:

CodeCogsEqn (9).png

SEGUNDO PASO: ENTENDER EL DESPEJE

Multiplicar toda la ecuación por este término, y ve que el termino de la izquierda se puede SIEMPRE simplificar como derivación de un producto.

Podemos automatizar el siguiente proceso llegando a esta formula maestra:

Lineal.png

Encontrando el gran formulazo

TERCER PASO: APLICAR EL FORMULAZO

Así, en resumen si tienes una ecuación diferencial lineal la solución siempre será:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 5.08.58 p.m..png

MEGA FORMULAZO SI NO OLVIDAS EN +C

  • PD: Nunca olvides el +C, ¡NUNCA OLVIDES EL +C!
  • PD2: Nunca olvides esto:

integral-de-cero

Ejemplo:

Captura de pantalla 2017-02-12 a las 11.46.36 p.m..png

Paso 1:

CodeCogsEqn (13).png

Paso 2 y 3:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 5.58.02 p.m..png


Ecuaciones Lineales Homogéneas 

Podemos hacer una excepción cuando Q(x) = 0, en este caso podemos reducir todo el proceso y encontrar que la solución simplemente es:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 4.34.51 p.m..png


Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma:

B.png

Bernoulli papa

Es mejor conocida como la ecuación de Bernoulli.

Vemos que cuando  n=0 ó n=1 se reduce a una ecuación lineal que ya hemos estudiado antes. (Así que no nos interesaría). Pero sino es ninguno de estos dos casos, entonces se puede hacer esto:

¿Cómo resolverla?

PASO 1: ELIMINAR POTENCIAS

Vamos dividir ambos lados entre y^n y hacemos una sustitución u= y^(1-n):

da1.png

PASO 2 : SUSTITUCIÓN PAPU

Ahora aplicamos la siguiente sustitución y sustituimos en la original:

da5

da2

Paso 3: SOLUCIONAMOS COMO LINEAL

Esta última ecuación se convierte en lineal en la función u(y) si multiplicamos ambos lados por (1-n):

da3

 

Buscando una forma más fácil de Solucionarlas

PASO 1: FACTOR INTEGRANTE

Vemos que el factor integrante es:

PASO 2: ENTENDER EL DESPEJE  FORMULAZO

Por lo tanto, la solución viene dada por:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 6.03.53 p.m.

PASO 3: APLICAR FORMULAZO

Finalmente, deshacemos el cambio y llegamos a una formula super genial:

ma

La maestra

Ejemplo:

Veamos la ecuación:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 6.37.07 p.m.

Encontremos el factor integrante:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 6.37.19 p.m.

Apliquemos formulazo:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 6.33.43 p.m.

 


Ecuación de Ricatti

Ecuaciones.png

Cuando tienes una ecuación como esta resulta que es imposible resolvería con lo que sabemos hasta ahora, así que tendremos que pensar de otra manera:

Para resolver una de estas NECESITAMOS una solución particular, ya que sin eso, es imposible hacer nada.

Pensemos en ycomo una de las soluciones.

PASO 1: PROBAR LA SOLUCIÓN

Prueba que ysea una solución.

PASO 2: DA EL CAMBIO PARA QUE SEA LINEAL

Captura de pantalla 2017-02-26 a las 10.27.57 p.m..png

PASO 3: SOLUCIONA COMO LINEAL Y REGRESA A “y” AL FINAL

Captura de pantalla 2017-02-26 a las 10.28.34 p.m..png

Ejemplo:

captura-de-pantalla-2017-02-26-a-las-10-54-46-p-m

Hagamos esta Ecuación Lineal

 

captura-de-pantalla-2017-02-26-a-las-10-54-54-p-m

Las soluciones salen de Ecu. Lineales

 

 

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