Rotacional ∇ × V: De Vector a Vector

Antes que todo volvamos a definir otro campo vectorial bien bonito (en este caso que sea diferenciable en todos los puntos):

funcion-vectorial

Entonces, el rotacional  se denota se define como :

rotacional-mini

Del mismo modo también se puede expresar en la forma de un determinante:
rotacional-formula

El concepto de rotacional es similar al de divergencia en el sentido de que proporciona información acerca del campo vectorial, pero se trata de una información diferente y algo más difícil de visualizar.

Dicho fatal, ∇× V nos da una idea de la turbulencia del agua en ese punto; dicho un poco menos mal, indica hacia dónde y cómo de rápido giraría una pelota sumergida en ese punto de la bañera.

rotacional 2.png

∇ × V = 0 Quiere decir que no gira la pelota hipotética.

Esto es conocido como un campo irrotacional, y que un campo cumpla esta condición lo convierte en un campo conservativo.

Si ponemos la pelota en cualquier punto de la región izquierda, pasará lo mismo de antes, y si la ponemos en la región derecha, pero ¿qué pasa si la ponemos justo en el borde entre ambos flujos de agua? ¡Ah, ahí la cosa cambia!

rotacional.png

La pelota recibe agua en un sentido por su izquierda, y agua en sentido contrario por su derecha, de modo que –si no es absolutamente lisa, y en nuestra analogía no lo es porque lo digo yo– la pelota girará. En esa línea de frontera entre ambas regiones, el rotacional no es cero. De modo que aquí sí, podemos decir si gira mucho o poco y hacia dónde.

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Operador Nabla

Salve Dios Nabla

Este símbolo triangular aparentemente básico se llama nabla.

Se trata de un operador matemático que puede tomar parte en diversas operaciones vectoriales. (Osea que los matemáticos usan este símbolo para representar muchas operaciones dependiendo del contexto, de la misma manera que tú y yo usamos la palabra banco).

Nabla es un operador matemático muy versátil, que puede aplicarse a números normales y corrientes (como la temperatura en distintos puntos de una habitación) o a vectores (como nuestro famoso campo eléctrico), y es capaz de proporcionar información muy interesante sobre ellos.

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

nabla

Este operador vectorial posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. Es útil para definir tres cantidades que aparecen en ciertas aplicaciones y que se conoce como gradiente, divergencia y rotacional.

Fin de la Lección.

Si, tenemos un problema, y es que tanto nabla como la gradiente, rotacional y la divergencia son temas muy rápidos y cortos, pero todos juntos serían estúpidamente largos, así que espero que el lector me perdone.

Así que empecemos con los temas:

Da click en el tema que quieras ver

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