Una matriz, como ya vimos antes puede ser aproximada desde dos puntos de vista:

• TODA la información  de Transformada Lineal (Vista en la lección pasada)

Ven te daré un repaso:

Transformaciones Lineales

Siendo muy general para cualquier transformada tenemos que:

Es decir, la formula completa de cualquier transformada lineal en dos dimensiones sería:

Y así tu colocas en la entrada cualquier vector y obtendrás la posición de ese vector tras la transformada lineal, y si te das cuenta, TODA la información de dicha transformación puede ser resumida en 4 números.

De hecho esto es tan importante que muchas veces los agrupamos juntos, y generamos lo que se conoce como una matriz:

Que no es más que juntar toda la información (osea las coordenadas de los vectores básico) tras una transformación lineal. Y con esto tenemos encapsulada TODA la información que existe sobre la transformación entre estos corchetes.

¿Quieres saber más?¿No me entendiste un comino? ¡Ve la Lección Pasada!

• Una tabla con valores

Y ya, no hay mucho mas interesante que contar de este forma de verlo.

De cualquier manera, lo importante ahora ya no es que son, sino como podemos jugar con ellas, veamos:

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Simbología para una Matriz

Esto es una Matriz:

• Con Mayúscula se denota a la Matriz.
• Con minúscula se denota a cada elemento dentro de ella.

También podemos hablar de un elemento en especial de esta manera:

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Tamaño

Una matriz de m filas por n columnas.

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Dividirlas

Podemos dividirlas usando la idea de que podemos dividir a todas las matrices en 4 partes:

Si las dividimos de esta manera tenemos que nuestras nuevas 4 submatrices son:

En palabras esto quiere decir que:

• Primero vamos a hacer una partición que abarque desde a1,1 hasta am1,n1
• Después vamos a hacer una partición que abarque desde a1,n1 hasta am1,n2
• Después vamos a hacer una partición que abarque desde am1,1 hasta am2,n1
• Finalmente vamos a hacer una partición que abarque desde am1,n1 hasta am2,n2

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Clasificación de Matrices

Rectangulares:

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Cuadradas

Estas son las más interesante porque tienen una forma geométrica genial y es que cualquier matriz cuadrada encierra TODA la información de una transformación lineal de n dimensiones (Incluso si no me entendiste, tienes que admitir que suena cool) 

Y podemos hablar mucho de las matrices cuadras, para empezar las dos diagonales:

Y gracias a estas diagonales podemos crear las matrices triángulos que son las que del otro lado de una matriz son todo ceros:

Y son las combinamos tenemos dos cosas muy importantes:

La Matriz Identidad

Esta es una matriz muy importante porque esta encapsula una transformación lineal en la que todo sigue igual, osea la transformación lineal más aburrida de todas.

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Operaciones

Recuerda que en las siguientes dos operación SOLO se pueden realizar si son matrices del mismo orden.

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Multiplicación

Empecemos por lo MÁS MÁS BÁSICO 

Para multiplicar 2 matrices tenemos que estar seguro de lo siguiente:

• La matriz A debe ser de m x n
• La matriz B debe ser de n x p

Y por lo tanto la matriz tendrá un orden m x p

Además hay que recordar que NO ES CONMUTATIVA ESTA OPERACIÓN.

Este GIF deberán explicarlo lo suficientemente bien.

¿Y que significa esa Operación?

Recuerda que en una matriz esta toda la información de una transformación lineal, así que si la multiplicación por un vector cualquiera obtener la posición de ese nuevo vector, con la formula que hicimos en la lección pasada:

Podemos entender una multiplicación de matrices simplemente como la «composición» de  dos transformaciones lineales:

Es decir, en vez de aplicar primero una transformación y luego la otra (lo cual a la larga es mucho trabajo) mejor primero saca esa composición de matrices.

Y eso es lo que significa multiplicar matrices, es encontrar una composición,  de ahí que no sea transitiva, no es lo mismo hacer primero una rotación y luego estirar el espacio, que hacerlo pero al revés.

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Matriz Transpuesta

Una matriz transpuesta es una matriz igualita a A donde cada coordenada esta cambiada,mas bien esta girada, déjame me explico con dos elementos:

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Simétrica

«Es una matriz cuya transpuesta es igual a si misma»

Para lograr verificar que es simétrica, hay que tener en cuenta estas ideas:

• Debe ser cuadrada
• Ignora la diagonal
• Comprueba una a una las demás

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Antisimétrica

«Es una matriz cuya transpuesta es igual a si misma (por -1)»

Para lograr verificar que es simétrica, hay que tener en cuenta estas ideas:

• Debe ser cuadrada
• Ignora la diagonal
• Comprueba una a una las demás

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Dependencia Lineal

La dependencia lineal de una matriz es justo lo que vimos en la clase pasada (QUE DEBERIAS VER SI NO LA HAS VISTO ¡YA!)

Repaso 1:

Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o «sean» sigue siendo exactamente igual.

Es decir que podemos expresar a nuestro vector u como la combinación lineal de v y w.

Repaso 2:

Hay algo muy importante y también curioso que recordar y es que puede pasar que en nuestra transformación ambos vectores resultantes sean dependientes, en ese caso, tenemos que la transformación aprieta a todo el espacio 2D en una sola línea

Bueno, ahora si vamos con las matrices en si:

RECUERDA QUE COMO YA VIMOS LAS TRASPUESTAS LO QUE VOY A DECIR PARA LAS COLUMNAS TAMBIEN SIRVE PARA LAS FILAS. LA DEPENDENCIA LINEAL LA CONSERVA UNA TRASPUESTA.

Ahora lo único que deberíamos buscar es que podamos expresar un vector como la suma de los otros 2.

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Rango

Es una operación que nos permite calcular el número de filas / columnas linealmente independientes.

Operaciones Elementales

Para lograr esto se usa lo que se conoce como operaciones elementales, las operaciones elementales son operaciones en las que NO se afecta el rango.

1.- Intercambio de Filas / Columnas

2.- Filas / Columnas por un escalar (n no debe ser 0)

3.- Suma  Filas / Columnas y producto por otra

Podemos unir las 2 ultimas operaciones y así quedarnos con 2 operaciones:

Rango por Gauss

Para hacerlo, vamos a tener que realizando operaciones elementales llegar a una matriz triangular, como esta:

En resumen las operaciones que tenemos permitidos usar son:

• Permutar una fila/columna
• Multiplicar una fila/columna por un escalar
• Sumarle a una fila/columna otra fila/columna multiplicada por un escalar
• Eliminar filas proporcionales o nulas

Cuando lleguemos a nuestra matriz triangular nuestro rango será el numero de filas/columnas que no sean nulas.

Veamos un ejemplo:

Recuerda que tenemos que hacer todos los circulitos a que valgan a cero.

Así que empecemos:

Y ya, como viste así podemos llegar y concluir que el rango es el número de columnas/filas que NO sean nulos.

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Matrices Inversas

Recuerda otra vez que una matriz no es más que la información de una transformación lineal, así que podemos pensar en una características más de estas.

¿Existe una transformación que revierta lo que acabo de hacer?

Si claro que existe y se llama obviamente la transformación inversa, así si tenemos una matriz, tenemos una matriz inversa.

¿Cómo demonios las calculo?

Algo genial del método de gauss es que nos da una forma muy fácil de calcularla, tenemos que seguir los siguiente pasos:

Paso 1: Dibujar nuestra zona de batalla.

Esta cosa se llama «matrices ampliadas», de un lado tenemos a nuestra matriz y del otro a la matriz identidad.

Paso 2: Transformar a la Matriz X en nuestra Matriz Identidad, usando las operaciones elementales y en general el Método de Gauss, veamos un ejemplo:

Inversa y el Determinante

Si una matriz es invertible, es decir tiene inversa entonces su determinante es diferente de cero. Y a la inversa, si s determinante es diferente de cero entonces tiene que tener una inversa.

…Tienen que admitir esa relación es simplemente genial.

La Inversa y la solución de Ecuaciones

Teoremas:

• Si una matriz es invertible, siempre el sistema homogéneo de esa matriz tiene una única solución, y también en el sentido opuesto, basta con encontrar que tiene solución única para saber que es invertible.

• Si una matriz es invertible o tiene un sistema homogéneo con solución única, podemos decir que el sistema tiene solución para cualquier vector en el campo.

Podemos usar la inversa también para encontrar las soluciones:

Podemos decir entonces que la solución de cualquier matriz (siempre que tenga inversa) es:

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Vectores Canónicos

Un vector cántico de Rn es una matriz fila / columna de mx1 o 1xn donde todos sus elementos son ceros excepto uno que es el uno del campo.

*Considere que están en R3

Un vector canino tiene la siguiente forma:

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Código que hace Todo Esto

 

 

Recuerda que si quieres un texto mas formal y con ejemplos de la vida real solo da click:

Ya hemos visto de matrices de muchas otras maneras pero ahora vamos a verlas desde un punto de vista completamente nuevo.

Este tema es de suma importancia, es la píldora que hace que todo empiece a tener sentido, así que empecemos por el nombre, y como dijo Morfeo:

Introducción

Una Transformación es un palabra «rara» para hablar de funciones. Una transformación es  una función que recibe un vector, lo modifica y regresa otro vector.

Entonces ¿Porqué usar la palabra «transformación»?  Porque es muy común y sobretodo útil hablar de estas operaciones mediante el movimiento, transformada quiere decir movimiento. Es decir nos imaginamos ver como se movería nuestro vector inicial esta su posición final:

Como ves se puede poner algo pesado, así que vamos a usar las líneas para que no se vea tan complicado.

Además recuerda que estamos hablando de transformaciones LINEALES  así que estas son bastantes sencillas, una transformación lineal es si:

• Todas las líneas tendrán que seguir siendo lineal después de la transformación, después de todo se llama transformación lineal.
• El origen tiene que seguir en el mismo punto.

 

A continuación te muestro varias transformaciones que NO son lineales:

Caso 1: Hace las líneas curvas. Así de sencillo, si eran lineas, deberán seguir siendo lineas.

Caso 2: Se mueve el origen, y es que aunque todo lo demás funcione, si el origen no esta bien colocado entonces no funciona.

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Transformaciones Lineales

 

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Propiedades

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Kernel

 

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Imagen

 

 

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Propiedades de Ambas

 

 

 

 

 

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Parte Grafica

Hay unas muy fáciles de describir, como la traslación, otras que es mucho más fácil ver que contar.

Piensa en las transformaciones lineales como aquellas que hacen que queden las lineas paralelas y que tengan un espacio igual entre todas ellas.

…Bueno, bueno, bueno, todo muy cool, pero ¿Cómo hago matemáticamente para describir esto?

Bueno, pues resulta que solo basta con saber donde quedan dos vectores para conocer donde quedan todos los vectores posibles en el plano: Los básicos.

Tomemos un vector de ejemplo y hagamos una transformación lineal:

Lo primero en lo que deberíamos fijarnos es que la representación numérica no cambio, es decir: v= -1i + 2j sigue describiendo a nuestro vector amarillo ¡Genial!

Esto es la clave a todo, porque solo basta con encontrar la relación entre nuestros vectores básicos originales i y j y nuestro nuevos vector básicos i y j transformada y tenemos todo este misterio resuelto.

Esto lo podemos expresar de manera numérica como:

O siendo muy general para cualquier transformada tenemos que:

Es decir, la formula completa de cualquier transformada lineal en dos dimensiones sería:

Y así tu colocas en la entrada cualquier vector y obtendrás la posición de ese vector tras la transformada lineal, y si te das cuenta, TODA la información de dicha transformación puede ser resumida en 4 números.

De hecho esto es tan importante que muchas veces los agrupamos juntos, y generamos lo que se conoce como una matriz:

Que no es más que juntar toda la información (osea las coordenadas de los vectores básico) tras una transformación lineal. Y con esto tenemos encapsulada TODA la información que existe sobre la transformación entre estos corchetes.

Es decir podemos entonces definir la multiplicación como:

Y reacomodando un poco podemos llegar a:

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Ejemplos

Veamos unas de las transformaciones mas comunes usando lo que acabamos de aprender.

Girar 90º

Corte o Shear

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¿Y a la inversa?

¿Y si lo quisiera hacer al revés? Osea, teniendo los números imaginarme como sería la transformación.

La respuesta es muy sencilla, ve primero como mueve el espacio un vector básico a la vez, primero i y luego j, y listo.

Hay algo muy importante y también curioso que recordar y es que puede pasar que ambos vectores resultantes sean dependientes, en ese caso, tenemos que la transformación aprieta a todo el espacio 2D en una sola línea

MUCHOS GIFS, ESTO VA A TARDAR EN CARGAR, PERO VALE LA PENA

Antes que hablar de ellos quiero dejar claro que los Sistemas de Coordenadas, ahí esta la clave, primero que nada, veamos el que ya conocemos:

Sistema Rectangular

Este es el sistema rectangular, tiene dos vectores base que tienen el tamaño de una unidad y que apuntan en la dirección de los ejes. Es el que hemos ocupado toda la vida.

…La pregunta increíble aquí es : ¿Qué pasaría si hubiera elegido otros vectores base?

Por ejemplo, digamos estos 2:

¿A qué lugar del plano podríamos alcanzar solo multiplicando y sumando esos vectores?

A menos que seamos demasiado estúpidos (osea que elijamos dos vectores que apunten hacia el mismo lugar) ¡Cualquier par de vectores puede servir para generar un nuevo Sistema de Coordenadas! , en donde tus dos vectores que elegiste son tus vectores base.

Y lo más curioso de todo esto es que la representación abstracta cambia, los números que describen a un mismo vector cambian si cambias el sistema de coordenadas.

Pero ya veremos eso más a fondo luego.

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Combinación Lineal

Cada vez que vayas «escalando» y sumando dos vectores cualquiera lo llamamos combinación lineal.

Donde A y B son números normales.

¿Porqué se llama así? Pues no es la razón original, pero hace poco aprendí que si dejas uno de esos fijo y vas variando el otro escalar obtienes un linea recta:

Y si ahora dejas que ambos se muevan de manera libre, como ya vimos arriba ¡Cubren todo el espacio! Bueno, mejor, seamos un poco más estrictos y veamos las posibilidades:

Caso 1: Si se alinean. Si resulta que ambos vectores se alinean, osea que el ángulo entre ellos es 0, entonces solo nos podemos mover una una linea que pasa por el origen.

Este caso también ocurre si UNO Y SOLO UNO de tus vectores es 0.

Caso 2: Si NO se alinean. Casi seguro no te va a tocar la mala suerte de elegir dos vectores que se alinean, y si es que hay un ángulo entre ellos, aunque sea minúsculo, entonces resulta que como vimos antes puedes acceder a todos los lugares del plano.

Caso 3: Eres un punto. Si ambos vectores valen cero, antes… Bueno, estas atrapado en el origen. Por estúpido.

Rango o Span 

Este termino es básicamente el conjunto de todos puntos que puedes tocar usando los dos vectores que escogiste. Es una forma de preguntar ¿En qué caso me encuentro?

Podemos verlo desde otra manera, en especial en el caso 1, pues si imaginamos el rango del caso de un vector y un punto obtenemos que es una linea que cursa el origen, y si luego añadimos otro vector que se encuentra en ese rango entonces, las cosas no cambian. Sigues solo pudiendo  acceder a esa línea. Esta idea es muy importante, tanto que tiene sus propios conceptos.

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Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o «sean» sigue siendo exactamente igual.

Es decir que podemos expresar a nuestro vector u como la combinación lineal de v y w.

Y como cada cosa tiene su opuesto entonces tenemos que si cada vector de verdad añade una dimensión más a nuestro rango ,si nuestro vector no es inútil entonces tenemos que es:

Es decir que podemos NO podemos expresar a nuestro vector u como la combinación lineal de v y w, sin importar que números A y B elijamos, será imposible.

…Con toda esta terminología, finalmente podemos terminar la introducción de este curso y decir que:

«Los vectores base de un espacio vectorial son el conjunto de vectores linealmente independientes que recorren todo el espacio»

MUCHOS GIFS, ESTO VA A TARDAR EN CARGAR, PERO VALE LA PENA

«Difícilmente hay algo tan bonito como Álgebra Lineal, a pesar de las generaciones y generaciones de profesores y alumnos que han oscurecido su belleza y simplicidad con sus cálculos horribles sobre matrices.»

Un tipo muy sabio (Jean Dieudonné)

Este tipo lo decía enserio, si te das cuenta esta es una de las pocas materias que es necesario para casi todo.

• ¿Eres Físico? La necesitas.
• ¿Eres computólogo/ ingeniero? La necesitas.
• ¿Eres matemático? ¿Biologo? ¿Economista? La necesitas.

La finalidad básica del álgebra lineal es la que hacer que conceptos y grandes cantidades de información sean «analizables», su objetivo es ayudar a encontrar esos patrones que son muy difíciles de ver si lo vieras los números.

Su objetivo es:

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Vectores

Como te darás cuenta pronto los vectores son la base del álgebra lineal, los bloques con lo que construirás todo, la materia que habita este universo. Así que antes que nada, es hora de entenderlos un poco mejor.

Puntos de Vista

Pero, tenemos un problema: Es que depende de en que contexto estemos hablando podemos hablar de 3 puntos de vista diferentes:

Físico: Por un lado podemos hablar usando al física, en la cual los vectores son «flechas», son herramientas que nos permiten visualizar o hacer cálculos sobre algo físico, algo real.

Ingeniería: Si estás estudiando computación, quizá te interese más la forma de verlo en solo son una forma «cool» de decir listas de números.  Sirven para agrupar datos y ya…No tiene ninguna descripción en el mundo real , sólo son un montón de números juntos.

Matemáticos: Hay algo también muy importante y es que para los matemáticos, un vector es cualquier cosa en la que exista la suma entre estas entidades y multiplicación por un escalar.

… Los matemáticos buscan generalizar ambos puntos de vista, así que para hacerlo se centran en estas dos operaciones (luego les contaré porque exactamente porque).

Además ya desde ahora podemos encontrar una pequeña relación entre ambos puntos de vista:

Podemos hacer que nuestras listas de números (perspectiva de los ingenieros) dibuje una flecha en el plano.

Y de igual manera podemos hacer que nuestra flecha sea asociada con un conjunto de números.

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Operaciones Super Básicas

Con esta idea podemos adentrarnos más en las operaciones que definen a los vectores:

Suma

Sumar dos vectores da como resultado otro vector. Ok, eso es obvio. Si lo vemos por el lado geométrico tenemos que:

Y si lo vemos analíticamente tenemos que:

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Multiplicación por un Escalar

Cuando tu multiplicas un vector por un número normal , lo que obtienes es un vector, pero este ha sido «escalado», es decir, el número real ha hecho a tu vector más grande o pequeño (dependiendo de si es mayor o menor que uno) o incluso puede hacer que cambie de dirección (dependiendo de si es mayor o menor que cero).

Este número «escala» a tu vector, y por eso en muchos caso decir que es un «escalar». (A mi me exploto la cabeza la primera vez que lo supe, es tan obvio y sin embargo nunca lo había pensado).

Visto de forma numérica tenemos que:

Antes que hablar de los espacios vectoriales quiero dejar claro que los Sistemas de Coordenadas, ahí esta la clave, primero que nada, veamos el que ya conocemos:

Sistema Rectangular

Este es el sistema rectangular, tiene dos vectores base que tienen el tamaño de una unidad y que apuntan en la dirección de los ejes. Es el que hemos ocupado toda la vida.

…La pregunta increíble aquí es : ¿Qué pasaría si hubiera elegido otros vectores base?

Por ejemplo, digamos estos 2:

¿A qué lugar del plano podríamos alcanzar solo multiplicando y sumando esos vectores?

A menos que seamos demasiado estúpidos (osea que elijamos dos vectores que apunten hacia el mismo lugar) ¡Cualquier par de vectores puede servir para generar un nuevo Sistema de Coordenadas! , en donde tus dos vectores que elegiste son tus vectores base.

Y lo más curioso de todo esto es que la representación abstracta cambia, los números que describen a un mismo vector cambian si cambias el sistema de coordenadas.

Pero ya veremos eso más a fondo luego.

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Combinación Lineal

Cada vez que vayas «escalando» y sumando dos vectores cualquiera lo llamamos combinación lineal.

Donde A y B son números normales.

¿Porqué se llama así? Pues no es la razón original, pero hace poco aprendí que si dejas uno de esos fijo y vas variando el otro escalar obtienes un linea recta:

Y si ahora dejas que ambos se muevan de manera libre, como ya vimos arriba ¡Cubren todo el espacio! Bueno, mejor, seamos un poco más estrictos y veamos las posibilidades:

Caso 1: Si se alinean. Si resulta que ambos vectores se alinean, osea que el ángulo entre ellos es 0, entonces solo nos podemos mover una una linea que pasa por el origen.

Este caso también ocurre si UNO Y SOLO UNO de tus vectores es 0.

Caso 2: Si NO se alinean. Casi seguro no te va a tocar la mala suerte de elegir dos vectores que se alinean, y si es que hay un ángulo entre ellos, aunque sea minúsculo, entonces resulta que como vimos antes puedes acceder a todos los lugares del plano.

Caso 3: Eres un punto. Si ambos vectores valen cero, antes… Bueno, estas atrapado en el origen. Por estúpido.

Rango o Span 

Este termino es básicamente el conjunto de todos puntos que puedes tocar usando los dos vectores que escogiste. Es una forma de preguntar ¿En qué caso me encuentro?

Podemos verlo desde otra manera, en especial en el caso 1, pues si imaginamos el rango del caso de un vector y un punto obtenemos que es una linea que cursa el origen, y si luego añadimos otro vector que se encuentra en ese rango entonces, las cosas no cambian. Sigues solo pudiendo acceder a esa línea. Esta idea es muy importante, tanto que tiene sus propios conceptos.

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Dependencia y Independencia

Sirve para describir que cierto vector, es más bien inútil. Pues si lo eliminamos nuestro rango o sean sigue siendo exactamente igual.

Es decir que podemos expresar a nuestro vector u como la combinación lineal de v y w.

Y como cada cosa tiene su opuesto entonces tenemos que si cada vector de verdad añade una dimensión más a nuestro rango ,si nuestro vector no es inútil entonces tenemos que es:

Es decir que podemos NO podemos expresar a nuestro vector u como la combinación lineal de v y w, sin importar que números A y B elijamos, será imposible.

…Con toda esta terminología, finalmente podemos terminar la introducción de este curso y decir que:

«Los vectores base de un espacio vectorial son el conjunto de vectores linealmente independientes que recorren todo el espacio»