Introducción a Ecuaciones Diferenciales

¡Hora de Teoría y Definiciones!

Ecuación Diferencial

“Es una ecuación que contiene una derivada”

Se le llama ecuación diferencial a una ecuación en la que se liga a la variable X y a una función incógnita f(X) y sus derivadas y’ , y”, etc…

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Ejemplos


Términos Útiles de Conocer:

Ecuación Ordinaria: Si la función depende de una sola variable independiente entonces se dice que la  ecuación se llama ordinaria.

Ecuaciones.png

Orden de una Ecuación: El orden de una ecuación diferencial es el “orden” de la derivada mayor que existe en la ecuación.

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Aqui hay un error .. ¿Lo encuentras ? 😉


¿Cuál es la Solución de estas Ecuaciones?

La solución de cualquier ecuación diferencial es una función que al ser sustituida en la ecuación diferencial esta cumple.

Ejemplo:

ed2.png

Proceso de resolver una ecuación diferencial

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Y por lo tanto TODAS estas son soluciones

… pero esto solo nos trae más preguntas.


Existencia y Unicidad

¿Todas las ecuaciones diferenciales tienen solución? ¿Existen ecuaciones que tienen más de una solución?

  • Existencia: ¿Existe una solución al problema ?
  • Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única posible?

Estas son preguntas muy importantes, así que vayamos por partes:

Teorema de Existencia y Unicidad

Este toerma nos indica cuando una ecuación diferencial de primer orden tiene solo una solución, (dada una condición inicial) , esta condición inicial es la clave:

Esto se tiene que cumplir para que exista una solución en el recinto:

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En resumen si tanto la función como su derivada parcial con respecto a y son continuas entonces es seguro que existe una solución en el intervalo, sino es así entonces no es seguro que exista solo una solución en este intervalo.

Muchos de estos problemas tiene este estilo y se les conoce como problemas de condición inicial:

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Tipos de Soluciones

Así que podemos hablar de dos tipos de soluciones, las particulares y las generales.

  • Solución General: Es una función que soluciona nuestra ecuación diferencial, y que la mismo tiempo tiene un +c.
  • Solución Particular: Es una función que soluciona nuestra ecuación diferencial, y que no tiene ninguna + c.

Ejemplo:

Veamos un ejemplo de una ecuación que tiene muchísimas (infinitas) soluciones:

ed2.png

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Algunas soluciones

Para que solo obtengamos una solución podemos poner una condición inicial como:

1.png

Y ahora solo tenemos una única solución valida:

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