Variables Separadas y Exactas

Primero empecemos con algo que nos vendría muy útil aplicarlo siempre que podamos, las:

Ecuaciones de Variable Separada

Resulta que hay muchas maneras de escribir estas ecuaciones, podemos ir de una forma a otra con algo de álgebra, pero para que las conozcan les pondré sus formas mas conocidas:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 1.41.20 p.m..png

Veamos como resolverlas:

PASO 0: ORDENA TU ECUACIÓN

El paso más largo de resolver esta ecuación es curiosamente colocar tu ecuación de la manera en la que esta arriba:

FORMA 1:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 2.59.12 p.m.

 

FORMA 2:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 3.01.11 p.m.

 

PASO 1: INTEGRA CON RESPECTO A CADA DIFERENCIAL

Ya que la has llevado a la forma necesaria, basta con hacer esto:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 1.41.27 p.m..png

Ejemplo:

Dada la siguiente ecuación, despejamos e integramos como dijimos arriba:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 2.47.22 p.m.

Y ya al final solo ponemos a nuestra respuesta bonita :3

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 2.47.29 p.m.

 

 


De Ecuaciones Homogéneas a Separables

Si una ecuación tiene esta propiedad entonces cumple con esta característica tan rara:

Si tu evaluar esa función con “x” y “y” multiplicada por una constante t eres capaz de reescribir tu función para factorial esa t (elevada a alguna potencia) entonces decimos que tu ecuación es homogénea.

oomo

Y decimos ese es de grado algo, osea, que si ese algo es cero, es de homogénea de grado cero, si es dos es homogénea de grado dos y así.

Una ecuación diferencial de primer grado se dice que es homogénea si es que cumple con que ambas funciones M(x,y) y N(x,y) sea homogéneas y del MISMO grado.

ecuaciones2

¿Y porqué me debería interesar un comino eso?

Porque podemos hacer CUALQUIERA de los siguientes cambios de variable y podemos reducir esta ecuación a una de variables separadas.

ambio

Ejemplo:

ejemp2

ejemp1


Reducción Separación de Variables

Si tenemos una ecuación del estilo

da2

SIEMPRE se puede reducir a una de variables separadas cuando este cambio.

da1

Y que se existe una función f(u), luego sacas su diferencial df(u) e igualas a dy/dx. Finalmente ya solo resuelves por variables separadas.

Ejemplo:

trabajo3

trabajo2

trabajo1

 

 

 


Ecuación Diferenciales Exactas

Son las que podemos denotar de la manera:

ecuaciones2.png

Para estar seguro que sean ecuaciones exactas, tenemos que hacer un paso más y es que:

ecuaciones1.png

Forma de comprobar

Si esto es cierto entonces podemos hablar entonces que tanto M(x,y) como N(x,y) son derivadas parciales de una función más básica, una f(x,y):

f

Esta es la verdadera identidad de nuestras funciones

 

Así que nuestro objetivo es ahora encontrarla:

matr

Forma de solucionarlas

 

Ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 3.21.36 p.m..png

 

Para comprobarlas basta con sacar la diferencial de esta función, recuerdas como es que era para una función normal:

diferenciales2

Diferencial Normal

Entonces para nuestra función sería algo así:

fisica

De aquí sacamos nuestra ecuación original

 


Forzar una Ecuación Exacta

Pero… y si quisiera que la ecuación que tengo fuera exacta, pero no lo es ¿Puedo “forzar” a que lo sea?

forzar
Mu es la salvación

Pues si y no.

Para empezar, hay que encontrar si a nuestra ecuación la podemos forzar a ser, hay que encontrar el… Factor Integrante.

Para encontrarlo hay dos opciones, que sea por x o por y, así que veamos ambos casos:

Caso de X – Factor de X

Si el Factor es una función de X se tiene que cumplir que la siguiente operaciones nos arroje una función que solo depende de X.

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 4.03.17 p.m.

Y entonces nuestro factor se puede calcular de manera muy fácil como:

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-las-3-27-18-p-m

Caso de Y – Factor de Y

Si el Factor es una función de Y se tiene que cumplir que la siguiente operaciones nos arroje una función que solo depende de Y.

Captura de pantalla 2017-04-09 a las 4.03.25 p.m.

Y entonces nuestro factor se puede calcular de manera muy fácil como:

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-las-3-25-38-p-m

Ahora vamos a hacer nuestra Ecuación Exacta

Y ahora, ya solo hay que multiplicar tu ecuación por ese factor y ahora tu nueva ecuación (SI TIENES TIEMPO COMPRUEBALA) es seguro que es exacta. 100% real, no fake.

forzar

Con esta nueva ecuación diferencial que ya es exacta, solo basta con usar el mismo método que el normal.

Veamos un ejemplo MUY resumido:

eje

 

 

 

btn

 

 

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