Ecuaciones Diferenciales Lineales

Son las que siguen este patrón:

PRIMER PASO: FACTOR INTEGRANTE

Hay que multiplicar toda la ecuación por una factor especial (factor integrante), este se calcula así:

Este es el Factor Integrante

¿Y de donde sale esta fórmulita?

Esta fórmula para encontrar el factor integrante se puede obtener de suponer que existe un factor integrante, y que si lo multiplicamos en la ecuación original tendríamos que:

Ademas podremos ver que esta expresión es valida:

Comparando ambas ecuaciones tenemos que:

Por lo tanto:

SEGUNDO PASO: ENTENDER EL DESPEJE

Multiplicar toda la ecuación por este término, y ve que el termino de la izquierda se puede SIEMPRE simplificar como derivación de un producto.

Podemos automatizar el siguiente proceso llegando a esta formula maestra:

Encontrando el gran formulazo

TERCER PASO: APLICAR EL FORMULAZO

Así, en resumen si tienes una ecuación diferencial lineal la solución siempre será:

MEGA FORMULAZO SI NO OLVIDAS EN +C

• PD: Nunca olvides el +C, ¡NUNCA OLVIDES EL +C!
• PD2: Nunca olvides esto:

Ejemplo:

Paso 1:

Paso 2 y 3:

Ecuaciones Lineales Homogéneas 

Podemos hacer una excepción cuando Q(x) = 0, en este caso podemos reducir todo el proceso y encontrar que la solución simplemente es:

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de la forma:

Bernoulli papa

Es mejor conocida como la ecuación de Bernoulli.

Vemos que cuando  n=0 ó n=1 se reduce a una ecuación lineal que ya hemos estudiado antes. (Así que no nos interesaría). Pero sino es ninguno de estos dos casos, entonces se puede hacer esto:

¿Cómo resolverla?

PASO 1: ELIMINAR POTENCIAS

Vamos dividir ambos lados entre y^n y hacemos una sustitución u= y^(1-n):

PASO 2 : SUSTITUCIÓN PAPU

Ahora aplicamos la siguiente sustitución y sustituimos en la original:

Paso 3: SOLUCIONAMOS COMO LINEAL

Esta última ecuación se convierte en lineal en la función u(y) si multiplicamos ambos lados por (1-n):

Buscando una forma más fácil de Solucionarlas

PASO 1: FACTOR INTEGRANTE

Vemos que el factor integrante es:

PASO 2: ENTENDER EL DESPEJE  FORMULAZO

Por lo tanto, la solución viene dada por:

PASO 3: APLICAR FORMULAZO

Finalmente, deshacemos el cambio y llegamos a una formula super genial:

La maestra

Ejemplo:

Veamos la ecuación:

Encontremos el factor integrante:

Apliquemos formulazo:

Ecuación de Ricatti

Cuando tienes una ecuación como esta resulta que es imposible resolvería con lo que sabemos hasta ahora, así que tendremos que pensar de otra manera:

Para resolver una de estas NECESITAMOS una solución particular, ya que sin eso, es imposible hacer nada.

Pensemos en y₁ como una de las soluciones.

PASO 1: PROBAR LA SOLUCIÓN

Prueba que y₁ sea una solución.

PASO 2: DA EL CAMBIO PARA QUE SEA LINEAL

PASO 3: SOLUCIONA COMO LINEAL Y REGRESA A «y» AL FINAL

Ejemplo:

Hagamos esta Ecuación Lineal

Las soluciones salen de Ecu. Lineales

Primero empecemos con algo que nos vendría muy útil aplicarlo siempre que podamos, las:

Ecuaciones de Variable Separada

Resulta que hay muchas maneras de escribir estas ecuaciones, podemos ir de una forma a otra con algo de álgebra, pero para que las conozcan les pondré sus formas mas conocidas:

Veamos como resolverlas:

PASO 0: ORDENA TU ECUACIÓN

El paso más largo de resolver esta ecuación es curiosamente colocar tu ecuación de la manera en la que esta arriba:

FORMA 1:

FORMA 2:

PASO 1: INTEGRA CON RESPECTO A CADA DIFERENCIAL

Ya que la has llevado a la forma necesaria, basta con hacer esto:

Ejemplo:

Dada la siguiente ecuación, despejamos e integramos como dijimos arriba:

Y ya al final solo ponemos a nuestra respuesta bonita :3

De Ecuaciones Homogéneas a Separables

Si una ecuación tiene esta propiedad entonces cumple con esta característica tan rara:

Si tu evaluar esa función con «x» y «y» multiplicada por una constante t eres capaz de reescribir tu función para factorial esa t (elevada a alguna potencia) entonces decimos que tu ecuación es homogénea.

Y decimos ese es de grado algo, osea, que si ese algo es cero, es de homogénea de grado cero, si es dos es homogénea de grado dos y así.

Una ecuación diferencial de primer grado se dice que es homogénea si es que cumple con que ambas funciones M(x,y) y N(x,y) sea homogéneas y del MISMO grado.

¿Y porqué me debería interesar un comino eso?

Porque podemos hacer CUALQUIERA de los siguientes cambios de variable y podemos reducir esta ecuación a una de variables separadas.

Ejemplo:

Reducción Separación de Variables

Si tenemos una ecuación del estilo

SIEMPRE se puede reducir a una de variables separadas cuando este cambio.

Y que se existe una función f(u), luego sacas su diferencial df(u) e igualas a dy/dx. Finalmente ya solo resuelves por variables separadas.

Ejemplo:

Ecuación Diferenciales Exactas

Son las que podemos denotar de la manera:

Para estar seguro que sean ecuaciones exactas, tenemos que hacer un paso más y es que:

Forma de comprobar

Si esto es cierto entonces podemos hablar entonces que tanto M(x,y) como N(x,y) son derivadas parciales de una función más básica, una f(x,y):

Esta es la verdadera identidad de nuestras funciones

Así que nuestro objetivo es ahora encontrarla:

Forma de solucionarlas

Ejemplo:

Para comprobarlas basta con sacar la diferencial de esta función, recuerdas como es que era para una función normal:

Diferencial Normal

Entonces para nuestra función sería algo así:

De aquí sacamos nuestra ecuación original

Forzar una Ecuación Exacta

Pero… y si quisiera que la ecuación que tengo fuera exacta, pero no lo es ¿Puedo «forzar» a que lo sea?

Mu es la salvación

Pues si y no.

Para empezar, hay que encontrar si a nuestra ecuación la podemos forzar a ser, hay que encontrar el… Factor Integrante.

Para encontrarlo hay dos opciones, que sea por x o por y, así que veamos ambos casos:

Caso de X – Factor de X

Si el Factor es una función de X se tiene que cumplir que la siguiente operaciones nos arroje una función que solo depende de X.

Y entonces nuestro factor se puede calcular de manera muy fácil como:

Caso de Y – Factor de Y

Si el Factor es una función de Y se tiene que cumplir que la siguiente operaciones nos arroje una función que solo depende de Y.

Y entonces nuestro factor se puede calcular de manera muy fácil como:

Ahora vamos a hacer nuestra Ecuación Exacta

Y ahora, ya solo hay que multiplicar tu ecuación por ese factor y ahora tu nueva ecuación (SI TIENES TIEMPO COMPRUEBALA) es seguro que es exacta. 100% real, no fake.

Con esta nueva ecuación diferencial que ya es exacta, solo basta con usar el mismo método que el normal.

Veamos un ejemplo MUY resumido: