Divergencia ∇ ·V: De Vector a escalar

Antes que todo definamos un campo vectorial bien bonito (en este caso que sea diferenciable en todos los puntos)

funcion-vectorial

Ahora sí, las preguntas de siempre:

  • ¿A qué “cosa” puedo sacarle la divergencia? A una función vectorial. 
  • ¿Qué significa sacar la divergencia? Es una operación en la que tu obtienes un escalar (un número pues) iniciando con una función vectorial.
  • ¿Cómo? Así.

divergencia.png

Y si, así de fácil es sacar la divergencia, ¿ves que no son más que unas cuantas formulitas?

Aquí un ejemplo:

¿Qué significa el resultado de esta operación?

La divergencia de un campo vectorial cualquiera, nos dice dónde “nacen” y “mueren” las líneas de campo y cómo de intenso es el proceso de “nacimiento” o “muerte” de las líneas.

Imaginemos nuestro campo vectorial como una bañera, y los vectores como las dirección en la que se mueve el agua, con esta pequeña analogía podemos llegar muy lejos, pues:

Al calcular la divergencia como al calcular la de cualquier vector, sólo pueden pasar una de tres cosas:

  • Si ∇ · V = 0, eso significa que ninguna línea de campo «muere» en el entorno de este punto y ninguna línea de campo «nace». Dicho de otro modo, toda línea que entra en el entorno de este punto sale otra vez de él, y toda línea que sale de aquí entró antes.

vector

  • Si ∇ · V > 0 (si la divergencia es Positiva) eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto nacen líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, eso significa que del entorno del punto (del círculo) salen más líneas de las que entraron. Cuanto más grande sea el número positivo, más líneas «nacen», es decir, más intenso es el flujo de agua saliendo del círculo.

vector2.png

  • Si ∇ · V eso significa que en el entorno minúsculo alrededor de ese punto mueren líneas de campo. En términos del agua de nuestra bañera, esto significa que en el entorno del punto entran más líneas de las que salen. Una vez más, cuanto más pequeño sea el número negativo, más líneas «mueren», es decir, más intenso es el flujo entrante.

vector3

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