El Maestro Kirchhoff

Esto no será fácil y desde el nombre de este tipo ya nos damos cuenta, ya que lo primero difícil es aprender como es que se pronuncia esa palabra.

Kirchhoff. KIRCHHOFF. Kir – ch- hoff. Kirchh – off.

Maestro

No tengo ni idea de como pronuncia esta palabra, ni siquiera recuerdo como escribirlo (de verdad, tuve que buscarlo en Internet para recordar como se escribía).

Pero no estamos aquí por el nombre de este hombre, sino por lo que hizo. Gracias a las siguientes técnicas, a través de los teoremas de este hombre y del análisis de mallas y nodos podremos resolver hasta el circuito más raro y extraño que te pueda imaginar.

Serás el Dios de los Circuitos, vamos es hora de aprender… Las oscuras artes místicas del Análisis de Circuitos

Primera Ley de Kirchhoff

(De los nodos)

“La corriente entrante a un nodo es igual a la suma de las corrientes salientes”.

Es la primera enseñanza de nuestro sensei es esta frase tan importante, veamos que maravillas se ocultan bajo estas palabras:

Antes que nada … ¿Qué es un nodo?

Un nodo es un punto en un circuito en el que se unen MÁS que dos líneas o cables.

Lo primero que podemos entender de la primera ley es que esto es una consecuencia de la conservación de la carga eléctrica. No podemos hacer que salga más corriente por un nodo de la que entró.

Segunda Ley de Kirchhoff

(De las mallas)

“La suma algebraica de las diferencias de potencial a través de todos los elementos de un bucle (lazo cerrado, también conocido como malla) debe ser igual a cero”.

O dicho de otra forma:

“En un circuito cerrado, la suma de las tensiones de batería que se encuentran al recorrerlo siempre serán iguales a la suma de las caídas de tensión existente sobre los resistores”.

Cuando un circuito posee más de una batería y varias resistencias ya no resulta tan claro como se establece la corrientes por el circuito. En ese caso es de aplicación la segunda ley de kirchoff, que nos permite resolver el circuito con una gran claridad.

La energía potencial disminuye siempre que la carga se mueve a través de una caída de potencial debida a una resistencia (− IR) o siempre que se mueve en la dirección contraria a través de una fuente de fem.

La energía potencial aumenta siempre que la carga pasa a través de una batería (fuente de fem) desde la terminal negativa a la terminal positiva.

(Mini) Análisis de Malas

Repaso antes de Empezar

Malla: Recuerda una malla es un recorrido cerrado empezando en un nodo y terminando en ese nodo, las mallas que vamos a utilizar casi siempre contienen una fuente de alimentación, es lo que las hace interesantes.

Veamos un circuito muy my sencillo: Si la resistencia es de 100 Ω solemos decir que (V = IR):

Si hay muchas resistencias juntas unidas en serie la que tenga la más resistencia generará una caída de voltaje más grande:

¿Cómo resolver un circuito por Mallas?

Hay dos grandes caminos:

Si es que solo existe una fuente de alimentación:

Son de los más sencillos, basta con respirar hondo.
Simplificar a una resistencia en serie con la fuente
Aplicar Ohm e ir viendo como vas las corrientes poco a poco a través de las resistencias equivalentes.

Veamos un ejemplo:

Podemos responder esto de manera muy sencilla:

Paso 1: Usamos la segunda Ley de Kirchhoff

Paso 2: Resolvemos para I

Si es que existe más de una fuente de alimentación:

Son de los más difíciles , empieza con respirar hondo.
Entiende a donde empujan los electrones o mas bien como es que se generan las corrientes por las fuentes. Es solo una idea, no tienes porque estar correcto.
Usamos la segunda Ley de Kirchhoff para cada Malla y creamos sus ecuaciones
Las resolvemos..Y bueno, ¡listo!

Veamos un ejemplo sencillo:

Paso 2: Encontramos que e1 hace girar la corriente en sentido del reloj, pero e2 genera una corriente en sentido opuesto, así que suponemos que nuestra I tiene este sentido.

Paso 3 y 4: Vemos que es una sola malla, que se puede escribir (y resolver) como:

… Espera ¿Ese signo menos? ¿Qué demonios? Pues ese menos dice que nuestra idea de la dirección de la corriente esta MAL, nos dice que la verdadera corriente es en el sentido inverso.

Verdadera dirección

Divisores

Los divisores es otra forma de analizar un circuito, veamos otra vez como son:

*Estamos generalizando lo más que podemos, es decir usando impedancia y AC.

Divisor de Voltaje

Divisor de Corriente

Análisis de Nodos (pero Pro)

Veamos lo que pasa cuando a la técnica de análisis de nodos le damos cafeína, lo que nos permite analizar mucho mejor estos circuitos:

Pasos

Paso 1 Encuentra los nodos de tu circuito
Paso 2 Encuentra tu nodo base, este no tendrá ecuación y supondremos que es 0 (el nodo base es el que tenga más conexiones o el que sea más negativo).
Paso 3 Analizar el circuito para ver si ya podemos decidir algunos Voltajes de nodos
Paso 4 Define la dirección de las corrientes de los elementos (las fuentes se quedan con su corriente y los demás elementos hacia el nodo base o el de tu fuente de corriente)
Paso 5 Para los nodos que no tengamos el voltaje aplicamos la siguiente formula:

Análisis de Mallas (pero Pro)

Veamos lo que pasa cuando a la técnica de análisis de mallas le damos cafeína, lo que nos permite analizar mucho mejor estos circuitos:

Requisitos para aplicar esta tecnica:

No puede existir una fuente entre 2 o más mallas.

Pasos

Paso 1: Hay que dividir nuestro circuito en Mallas.
Paso 2: Hay que asignarle a cada Malla un Corriente de Malla.
Paso 3: Analizar el circuito para ver si ya podemos decidir algunas Corrientes de Malla.
Paso 4: Para las Corrientes de Malla que no conozcamos hay que crear una ecuación que sigue este patrón:

Veamos un Ejemplo:

Captura de pantalla 2017-04-02 a las 11.06.47 p.m..png

Encontrar la corriente que pasa por R1

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar las mallas y darles un sentido:

Y podemos ya sacar las ecuaciones de Malla:

Y recuerda que ya sabemos que I3 vale lo mismo que la fuente que esta en esa Malla, es decir 10 A.

Así que podemos encontrar rápidamente I1:

Y así usas la magia del Análisis de Mallas.

Ejemplo

Determinar el voltaje en el resistor 6 del siguiente circuito, donde $v_f(t)=10 \cos(100t) V$ :

Solución: Primero que nada vemos que nos dan la frecuencia angular, es decir, $\omega = 100 rad/s$ . Por lo tanto, el voltaje de la fuente en forma fasorial será de: $V_f=10 V$ . Ahora, anotemos todas las impedancias que nos da el circuito:

$Z_1 = 1 \Omega$

$Z_2 = 1 \Omega$

$Z_3 = \dfrac{1}{w C_3 j}=\dfrac{1}{(100)(0.04) j} \Omega=-0.25j \Omega$

$Z_4=1 \Omega$

$Z_5 = w L_5 j = (100)(0.04)j \Omega=4 j \Omega$

$Z_6 = 1 \Omega$

Etiquetemos nuestras corrientes de maya y asignemos sus sentidos:

En las tres mallas obtenemos las ecuaciones:

$(Z_1+Z_2+Z_3)J_1-Z_2J_2-Z_3J_3=V_f$

$-Z_2J_1+(Z_2+Z_4+Z_5)J_2-Z_4J_3 = 0$

$-Z_3J_1-Z_4J_2+(Z_3+Z_4+Z_6)J_3=0$

Al sustituir los datos obtenemos el siguiente sistema:

$(2-0.25j)J_1-J_2+0.25jJ_3=10 A$

$-J_1+(2+4j)J_2-J_3=0$

$0.25jJ_1-J_2+(2-0.25j)J_3=0$

Como queremos el voltaje en $R_6$ , despejamos $J_3$ :

$J_3 = \dfrac{\begin{vmatrix} 2-0.25j & -1 & 10A \\ -1 & 2+4j & 0 \\ 0.25j & -1 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2-0.25j & -1 & 0.25j \\ -1 & 2+4j & -1 \\ 0.25j & -1 & 2-0.25j \end{vmatrix}}$

$J_3 = \left(\dfrac{5}{17}-\dfrac{20}{17}j\right) A = 1.2126 A \angle -75.9637^\circ$

Finalmente, por ley de Ohm, hallamos el voltaje requerido:

$V_{R_6} = J_3 Z_6 = (1 \Omega)(1.2126 A \angle -75.9637^\circ) = 1.2126 V \angle -75.9637^\circ$

Finalmente, convertimos a su forma de dominio en el tiempo:

$\boxed{v_{R_6}(t) = 1.2126 \cos(100t-75.9637^\circ)V}$

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Leyes de Kirchhoff y Análisis de Circuitos

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