Álgebra de Boole

boole

En matemáticas discretas vimos todo sobre proposiciones, conjunciones, disyunciones, etc., ahora tenemos algo (muy)  parecido .

En esta algebra usamos solamente 2 números el 1 y 0 (en proposiciones es verdadero y falso), y utilizamos una serie de propiedades para dada una expresión a realizar se pueda reducir a una expresión más pequeña.

Hablemos de negaciones.

Una negación es pasar al estado contrario. Así que si tenemos una x=0 y la negamos x’=1.
Y si por el contrario tenemos una y=1 y la negamos y’=0.

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La ley de doble complemento

Es sobre que pasa si negamos una variable dos veces, resulta que se elimina la negación. Tiene sentido no? Si tenemos una x=0 y la negamos una vez x’=1 y la negamos una segunda vez (x’)’=0. Nos ahorraremos un par de pasos. ( O incluso puedes usarla para una reducción).

Las leyes de De Morgan

(Si esta bien escrito)

Son las que son menos intuitivas pero siguiendo la formula todo saldrá bien. Digamos que tienes a dos variables sumándose (Operación Or) y niegas la operación completa, el resultado es la multiplicación de las negaciones (Operación And).
Si por el contrario tenemos la negación de la multiplicación de dos variables (And) el resultado será la suma de las negaciones de las variables.

En resumen:  Si tienes una multiplicación negada separa la negación y súmalas. Si tienes una suma negada separa la negación y multiplícalas.

Conmutatividad

Significa que es sumas y multiplicaciones no importa el orden de los factores (Cada uno con su respectiva negación si es el caso).

Asociatividad.

Nos dice que podemos juntar términos en sumas y multiplicaciones (Con sus negaciones en su caso) de la manera más conveniente. Ósea puedes moverlos de la manera que mas te guste como w(xy)z=(xy)(wz).

Distributiva.

Esta habla sobre que pasa ti combinamos una multiplicación con una suma de variables. Como veras arriba se realiza como en el algebra común. Multiplicas por cada termino de la suma y listo. La otra es sobre que pasa si tienes una suma con una multiplicación. Esta se coloca como la multiplicación de la suma de la variable que multiplica por una de la suma y la que multiplica por la otra variable de la suma.

Idempotencia.

Resulta que si multiplicas o sumas una variable consigo misma el resultado es la variable (Ojo si tiene negación alguna la otra también la tiene que tener).

Neutros.

Si a cualquier variable le sumas 0 el resultado es la variable. Si a una variable la multiplicas por 1 el resultado es la variable.

Dominación

Esta tampoco es intuitiva, cualquier cosa que le sumes 1 es 1 y cualquier cosa que multipliques por 0 es 0. ( Aquí 1+1=1   c:     )

boolean.jpg

Inversos

Esta es si a una variable le sumas su inverso el resultado es uno, si le multiplicas su inverso es 0.

Absorción

Nuestra ultima ley habla de que si tenemos una variable y la sumamos con una multiplicación que contiene a la variable (con sus respectivas negaciones) o si la multiplicamos con una suma que contiene la variable, el resultado es la variable  (Con esto podemos minimizar expresiones).

Funciones

Con esta algebra podemos tener funciones las cuales podemos representar con:

Tablas de verdad

Tenemos una representación de funciones que dependen de las variables (A,B,C,D) Y es un conteo del 0 al 15 en binario. Si la función esta definida para todas las combinaciones se llama completa, si no, es incompleta

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Podemos colocar la cantidad de  variables que necesitemos. Si se colocan más o menos cambia el número de estados.

Otra manera de representación son:

Minitérminos y maxitérminos.

Minitérmino

Es cuando la función esta expresado como el producto de las variables (y/o sus negaciones). Esta función siempre da 0 excepto en una. Ejemplos:

F(x,y)=xy’

F(x,y,z)=x’ y’ |z

F(a,b)=a,b

Maxitérmino.

Es cuando la función esta expresada con la suma de las variables (y/o sus negaciones). Esta función siempre da 1 excepto en una. Ejemplos:

F(x,y)=x+y’

F(x,y,z)=x’+y’+z

F(x,y)=x+y

Suma de Minitérminos

Como dice arriba es la suma de los productos de todas las variables. Podemos representarlo así:

F(x,y,z)=x’yz + xy’z – xyz

O como 16936060_1326507410739266_922449803_odonde a, b y c son las posiciones en que la función nos da 1.

Producto de Maxitérminos

Como seguramente ya adivinaste luce así:

F(x,y,z)=(x’+y’+z)(x+y+z)(x’+y’+z’)

O como16935528_1326520507404623_1419201289_o donde a, b y c son las posiciones donde la función nos da 0.

Simplificación de funciones

A todo el mundo le gustan las cosas simplificadas, como decir 9/27 da mas flojera que un bonito 1/3. Aquí las cosas se pueden poner feas. Como esto:

arquitectura-computadores-guia-uno_image020

Pero mira esa ultima línea … eso se llama esperanza. Resulta que las leyes que están arriba si sirven de algo.

Así que haremos una paso por paso. Será divertido.

Ejemplo:

Resulta que existe un código llamado El Código de Gray es muy parecido al binario solo que tiene de característica, es de cambio mínimo, esto quiere decir que solo cambia un bit por estado.  Además es un código sin valor, las posiciones de los bits en los grupos de código no tienen valor especifico. Comúnmente se ocupa en convertidores analógico a digital.

Realizaremos los cálculos para realizar un convertidor de binario a gray.

Tenemos la siguiente tabla de verdad, de el lado de las entradas tenemos el conteo en binario y del lado de las salidas el conteo en código gray.

En la parte de arriba esta el PDF original con la simplificación.  c:

Tablabinariogray

Primero pasemos la tabla a función canónica:
Como vemos para la primera función los unos se colocan en los últimos 8 números.

Así que se coloca como la suma de Minitérminos.
Recuerda que se deben colocar todas las variables en cada termino para que sean Minitérminos.0

AimplP1

Simplificacion parte2

Para la segunda ecuación

Simplificacion2

Para la tercera ecuación

Simplificacion3

Y finalmente para la cuarta ecuación

simplificacion4

Y tenemos las ecuaciones

finales

Y traduciendo a circuito bebe:     c:

CtoBool

Terminamos c:

Toma un gatito ~*u*~

giphy

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