Relaciones y Funciones

En álgebra y cálculo son importantes las relaciones entre variables; en geometría lo son las relaciones entre figuras.

 

Definición

Sean r1r2 conjuntos. Una relación r3 de r1 en r2 es un subconjunto de r4, es decir:

r5

Si r6, decimos simplemente que r3 es una relación en r1.

 


Dominio y Contradominio

Dominio

r6

Imagen – Contradominio

r7

Relación Inversa

r8

 


Reflexiva y Irreflexiva

Relación Reflexiva

a tiene que estar relacionada con a, sin importar que a también está relaciona con otros elementos”

r10

Relación Irreflexiva

r11

Relación Identidad

r12

Relación Cerradura Reflexiva

r13

Es una relación que cumple con:

r15

 


Simetría y Antisimetría

Simetría

r30

Antisimetría

r31

Relación Cerradura Simétrica

r33

Es una relación que cumple con:

r34

 

 


Transitividad

r40.png

 

r41

Si decimos que r3 es transitiva entonces:

r42

Relación Cerradura Transitiva

r43

Es una relación que cumple con:

r45

r46

 

 


Funciones

r50

r51

 

 

Una función es una relación que cumple con las siguientes 2 condiciones:

  • “Todo los elementos del dominio tienen un valor asignado”

Para toda a que pertenece a A existe una b que pertenece a B es tal que:

r52.png

 

  • “A cada valor del dominio solo le corresponde un único elemento del contradominio”

Si  r53  entonces r54

 

Gráficamente para que una relación sea función toda línea vertical debe tocar mínimo un punto de la gráfica y no más de un punto.

No son funciones

r55.jpg

 

 

Es función

r56.jpg

 


Tipos de Funciones

  • Funciones Continuas

Funciones incontables, y que pueden tomar cualquier valor como los Reales

  • Funciones Discretas Finitas

Funciones en las que solo pueden tomar valores selectos y son contables, como {1,34,1}

  • Funciones Discretas Infinitas

Funciones en las que solo pueden tomar valores selectos, pero son incontables, como los Naturales

 


Funciones Inyectivas

Funciones en las que solo le corresponde un elemento del conjunto A en el conjunto B. Una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen).

Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

De forma gráfica: Si hay un punto en la función en el que pasa por dos puntos de una línea horizontal no es inyectiva.

r60

 

Funciones Suprayectiva

Funciones en las que cada elemento del contradominio tiene un elemento en A. Una función es suprayectiva si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de “Y” es la imagen de como mínimo un elemento de “X”.

r61

De forma gráfica: Si hay un punto en la función en el una línea horizontal no toque a la función  no es suprayectiva.

 

Funciones Biyectiva

Funciones que son al mismo tiempo inyectivas y suprayectiva

r62

 

 

* Tú, después de  Relaciones y Funciones en Matemáticas Discretas*

 

 

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