Congruencias

Clases Congruencia Módulo n

“ Las clases de congruencia modulo n son los conjuntos de enteros que tienen el mismo resto en la división entre n. ”

Los enteros se reparten entre pares e impares, pero también en vez de repartir los enteros según su residuo en la división entre 2, podemos repartirlos según su residuo en la división entre 3, entre 4 . . . entre cualquier entero n ≥ 2.

Por ejemplo, hay tres residuos posibles en la división entre 3, y los enteros se reparten según su residuo en los tres conjuntos siguientes:

• 
• 
• 

Son los conjuntos de enteros que tienen el mismo resto en la división entre n. Si a es un entero, notamos su clase de congruencia módulo n.

Notación para el conjunto de las clases de congruencia modulo n

Sea n un entero. Notamos el conjunto de las clases de congruencia módulo n. Si n>0.

---

Congruencia Módulo n

      

De esta manera podemos definir la congruencia módulo n como:

• a y b  son congruentes módulo n si pertenecen a la misma clase de congruencia módulo n, es decir, si tienen el mismo resto en la división entre n.
• Si n > 1. Dos enteros a  y b  son congruentes módulo n si y sólo si su diferencia es un múltiplo de n.

En regla general, si es un entero positivo, hay clases de congruencia módulo n, que son:

La clase es exactamente el conjunto de todos los enteros de la forma para .

---

Aritmética Modular

Sabemos que la suma de dos enteros pares siempre es par, la suma de dos enteros impares siempre es impar, y que la suma de un entero par y de un entero impar siempre es impar. Resumimos estas leyes de la manera siguiente:

El conjunto tiene tres elementos: 

Si, por ejemplo,   y   entonces siempre se tiene   y  

Reglas Generales

Sea n en entero. Sean  y dos clases módulo n.

• Todas las sumas de un elemento de   y de un elemento de están en una misma clase modulo n.

• Todos los productos de un elemento de   y de un elemento de  están también en una misma clase modulo n.  

---

Operaciones

 

Suma: A + B = (A+B) % n

Resta: A – B = (A-B) % n

Multiplicación: A * B = (A*B) % n

 

 

---

Función de Euler

Teorema de Euler

Pequeño teorema de Fermat

---

Teorema Chino del residuo

---

Problemas diversos

 

 

 

 

 

 

 

 

---

Grupos Permutación

 

Estos grupos son algo muy importantes en Matemáticas:

Esta configuración inicial, la cual identificaremos como la permutación identidad I, usualmente se representa en los textos de matemáticas de la siguiente manera: