Aritmética Modular y Grupos Permutación

 

Congruencias

Clases Congruencia Módulo n

a0

“ Las clases de congruencia modulo n son los conjuntos de enteros que tienen el mismo resto en la división entre n. ”

Los enteros se reparten entre pares e impares, pero también en vez de repartir los enteros según su residuo en la división entre 2, podemos repartirlos según su residuo en la división entre 3, entre 4 . . . entre cualquier entero n ≥ 2.

Por ejemplo, hay tres residuos posibles en la división entre 3, y los enteros se reparten según su residuo en los tres conjuntos siguientes:

  • a1
  • a2
  • a3

Son los conjuntos de enteros que tienen el mismo resto en la división entre n. Si a es un entero, notamos a0 su clase de congruencia módulo n.

Notación para el conjunto de las clases de congruencia modulo n

Sea n un entero. Notamos el conjunto de las clases de congruencia módulo n. Si n>0.

a5


Congruencia Módulo n

a10      a11

De esta manera podemos definir la congruencia módulo n como:

  • a y b  son congruentes módulo n si pertenecen a la misma clase de congruencia módulo n, es decir, si tienen el mismo resto en la división entre n.
  • Si n > 1. Dos enteros a  y b  son congruentes módulo n si y sólo si su diferencia es un múltiplo de n.

En regla general, si es un entero positivo, hay clases de congruencia módulo n, que son:

a12

La clase es exactamente el conjunto de todos los enteros de la forma para .


Aritmética Modular

Sabemos que la suma de dos enteros pares siempre es par, la suma de dos enteros impares siempre es impar, y que la suma de un entero par y de un entero impar siempre es impar. Resumimos estas leyes de la manera siguiente:

r19

r20

El conjunto r21 tiene tres elementos: 

r22

Si, por ejemplo, r23  y  r24 entonces siempre se tiene r25  y  r26

Reglas Generales

Sea n en entero. Sean r27 y r28 dos clases módulo n.

  • Todas las sumas de un elemento de r27  y de un elemento de r28 están en una misma clase modulo n.
  • Todos los productos de un elemento de r27  y de un elemento de r28 están también en una misma clase modulo n.  

a60

a61

a62


Operaciones

 

Suma: A + B = (A+B) % n

Resta: A – B = (A-B) % n

Multiplicación: A * B = (A*B) % n

 

 


Función \varphi de Euler

Teorema de Euler

Pequeño teorema de Fermat


Teorema Chino del residuo


Problemas diversos

 

 

 

 

 

 

 

 


Grupos Permutación

 

Estos grupos son algo muy importantes en Matemáticas:

Esta configuración inicial, la cual identificaremos como la permutación identidad I, usualmente se representa en los textos de matemáticas de la siguiente manera:

 

 

 

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