Lógica

Proposiciones

La lógica es una forma sistemática de pensar que nos permite deducir nueva información desde la información que ya conocemos.

Recuerda que la lógica es un proceso de deducir la información correctamente, no sólo deducir la información correcta.

La lógica trabajo con algo llamado proposiciones, son como las funciones para cálculo, o los lenguajes de programación para informática o los libros para la literatura.

Así que empecemos por ahí … ¿Qué son?

Son proposiciones las frases que pueden adquirir un valor de verdadero o falso.

O dicho de manera formal: Es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa.

Y cuando digo frase, me refiero a:

  • Secuencia finita de signos con significado y sentido de ser calificado como verda- dero o falso. (es decir una simple expresión matemática).
  • Expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. (es decir una frase aseverativa).

Sentencias Abiertas

Existen cosas que son parecidas a las proposiciones, pero no lo son exactamente, son cosas como:

p(x): x es un número par.

Puesto que la validez de p(x) depende que número sea x, p(x)no es no totalmente cierta ni totalmente falsa, por lo tanto no es una proposición.

Una oración como esta, cuya verdad depende del valor de una o más variables, se llama sentencias abierta.

Ejemplo:

Por ejemplo son proposiciones frases como:

  • 2+3=4
  • Hay solamente 325 personas en Marte
  • ∀x,y ∈ N se tiene que x+y ∈ R
  • Hoy es lunes
  • f(x + y) = f(x) + f(y)
  • Si x = 2 entonces 2x = 4

Pero no son cosas como:

  • ¡Ojalá no llueva hoy! Haz la tarea
  • Este enunciado es falso Tomar una siesta

Teoremas, Corolarios y Tautologías

Propiedades de una Proposición:

  • Tautología: Cuando para todos los valores posibles de un conjunto de proposiciones siempre será verdadero el conjunto.
  • ContradicciónCuando para todos los valores posibles de un conjunto de proposiciones esta será siempre falso.
  • Contingencia: Una proposición “común” son básicamente todas las que no son ni tautologías ni contradicciones.

Notación

Además a los matemáticas les encanta demostrar todo y cuando digo todo, es TODO, así que aquí te dejo las diferencias entre varias palabras que se parecen:

  • Proposición: Enunciado que encierra un valor de verdad
  • Axioma: Principio tan claro y evidente que no necesita demostración.
  • Corolario: Proposición demostrado que provoca una afirmación.
  • Demostración: Razonamiento por el cuál se da prueba de la exactitud de una proposición.
  • Lema: Proposición que es necesaria demostrar antes de establecer un teorema.

Conectores Lógicos

Conector Formas Equivalentes Símbolo

y

p y q

Conjunción de p y de q.

p ∧ q

o

p o q

Disyunción de p y de q.

p ∨ q

no

no p

Negación de p.

¬p

implica

p implica q

Si p, entonces q
p implica qq si p
p sólo si q
Cuando p, q
q siempre que p
Siempre que q, p
p es suficiente para q
q es necesaria para p
p es una condición suficiente para q
q es una condición necesaria para pEs necesario que q para p
Sólo si q entonces p
Es suficiente que p para que q

p → q

si y sólo si

p si y sólo si q

p ssi q.
p es equivalente a q
Bicondicional.

p ↔ q


Tabla de Verdad

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Jerarquía de los Exponentes

Como en todas las matemáticas, no todos los operadores tiene el mismo “poder”, así que se los escribo, del mas poderoso (el que tendrás que hacer primero) al más débil (el que harás al final).

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Leyes de la Lógica

Aquí v  es una tautología (cualquiera), y f es una contradicción (cualquiera).

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Condicionales

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Equivalencia

Es cuando dos conjuntos de Proposiciones es lógicamente igual, y se escribe como:

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Es decir que si se hace la bicondicional entre estos dos conjuntos de proposiciones será una tautología.

Contraejemplo: Cuando se demuestra que un enunciado es falso dando ejemplo de los casos en los que no se cumple.

Demostraciones Indirectas

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Inferencia Lógica

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.

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Podemos entonces definir que una inferencia lógica es un proposición q que si le aplicamos el condicional con la disyunción de todas las premisas sería una tautología.

Propiedades

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Reglas de Inferencia

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Cuantificadores

Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, bien sea particularizando o generalizando.

Así, un cuantificador transforma una función proposicional, en una proposición a la cual se le asigna un valor de verdad.

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Leyes de Distribución de los Cuantificadores

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Vaya eso fue intenso, lo siento si me pase con la teoría, pero espero que les sirva par poder lograr todo lo que les falte, suerte amigos…

arte136

O quizá quieras más, si es así, vamos la siguiente lección te esta esperando.

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