Conjuntos

ApuntesDe

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¿Qué son?

Olvida todo lo que sabes sobre números. Olvídate de que sabes lo que es un número. Aquí es donde empiezan las matemáticas. En vez de matemáticas con números, vamos a hacer matemáticas con ’cosas’.

Se denomina conjunto a la agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común.

Un conjunto puede ser una agrupación de números, de vectores, de autos, de espacios vectoriales, de objectos, de funciones e incluso un conjunto puede ser una agrupación de otros conjuntos.

 


¿Cómo Definirlo?

 

Pertenecia

Creo que el símbolo más importante al hablar de conjuntos es este: x ∈ A. Esto quiere decir, el elemento x pertenece al Conjunto A.

 

Forma Básica

conjunto2

Recuerda también que:

conjunto1

 

Notación Formal

Esta notación tiene un nombre genial en inglés, se le conoce como Set Builder Notation, esta notación es la que sueles encontrar en los libros.

Se ve fea al principio pero te da toda la información que necesitas.

conjunto3

Definimos cierto conjunto, al que llamaremos A como la agrupación de todas las x (es decir cada x es un elemento, un ente) tal que cumplen ciertas características.

 

 


Clasificación de Conjuntos

Los conjuntos pueden clasificarse en función de su número de elementos, en:

  • Finito: Si tiene una colección que se pueda contar, aunque sea difícil. Por ejemplo, el conjunto de frutas incluye todos los tipos de fruta que hay en el mundo. Aunque sea difícil, se podrían contar todos los tipos de fruta del mundo, por lo que es finito.
  • Infinito: Si tiene una colección que no se pueda terminar de contar nunca. Por ejemplo, el conjunto de todos los números pares, que son infinitos, es un conjunto infinito.

 


Conjunto Vacío: φ

Ok, ya sabemos que un conjunto es un grupo de elementos, pero … ¿Cómo represento a un conjunto en el que no hay nada?

Como una caja vacía.

De hecho, me gusta, hablemos de el Conjunto vacío como un caja vacía.

Llamemos φ como aquel conjunto tal que φ = {} es decir el conjunto que no tiene elementos.

 

Listo, eso es casí todo, además te gustará que te recuerde las siguientes proposiciones:

  • |φ| = 0 : Esto quiere decir que la cardinalidad (es decir la cantidad de elementos) del conjunto vacío es la misma que la cantidad de galletas en una caja vacía de galletas, osea 0.
  • φ ̸= {φ} : Esto quiere decir que no es lo mismo hablar del conjunto vacío que de hablar de un conjunto cualquiera que contiene al conjunto vacío.

    Es decir simplemente no es lo mismo tener una caja vacía que una caja con una caja vacía dentro (si lo piensas la segunda caja ya no esta completamente vacía).

     


Conjunto Universo: U

Como podemos imaginarnos, tenía que existir un término inverso, digamos que estamos analizando y agrupando animales por su habitad, entonces tenemos muchos conjuntos cool como animales del bosque o marinos, pero también tenemos a un mega conjunto que llamamos universo donde tenemos a todos los animales.

Muchas veces a la hora de hablar sobre conjuntos solemos definirlos sobre un universo.

 

 


Subconjuntos A ⊆ B 

Esta es la relación mas importante siento yo, porque será la que mas ocupemos a lo largo del tiempo.

Que el A sea un subconjunto de B quiere decir que todos los elementos de A también son elementos de B.

 

Subconjuntos Propios
A es un subconjunto propio de B si y sólo si cada elemento de A está en B, y existe por lo menos un elemento de B que no está en A.

 


Operaciones

Podemos hacer operaciones con los conjuntos de una manera muy similiar a como hacemos operaciones con los números normales, tu defines una operación, y la haces entre dos conjuntos y esta te dará un nuevo conjunto, pero aquí siento que son incluso más divertidas.

 

Intersección

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md27.png

Esta operación básicamente nos da un conjunto en el que estan solo los elementos que bien pertenezcan a A y que también pertenezcan a B.

 

 

Unión

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md26.png

Esta operación basicamente nos da un conjunto en el que estan todos los elementos que bien pertenezcan a A o bien que pertenezcan a B.

 

 

Resta

conjunto6

md28.png

Esta operación basicamente nos da un conjunto en el que estan todos los elementos de A que no pertenezcen a B.

A esta operación también se la conoce como complemento relativo.

 

 

Complemento

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md29.png

Esta operación basicamente nos da un conjunto en el que estan todos los elementos que no pertenecen a A.

 

 

Diferencia Simétrica

conjutnto8

Esta operación basicamente nos da un conjunto en el que estan todos los elementos que pertenezcen a A y a B, pero no a ambos.

Otra forma de definirlo es:

md6.png

Producto Cartesiano

Esta es la base de lo que se conoce como es plano cartesiano, y es quizá la operación mas útil que vas a conocer a lo largo de estos textos, veamos específicamente porque:

 

N-Tuplas

El resultado de un producto cartesiano es un con- junto formado de n-tuplas, cada n-tuplas es una agrupación ordenada de elementos. Por ejemplo (a,b) ó (x,y,z).

conjunto11

Esta operación basicamente nos da un conjunto en el que estan todas las n-tuplas donde su primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

 

Ideas Importantes

conjunto10

Tabla

Podemos hacer uso de una tabla para encontrar todos los elementos del producto cartesiano.

 

conjunto9

 

Conjunto Potencia

El conjunto que contiene a todos los subconjuntos posibles.

Esta operación es diferente en el sentido de que no toma sus elementos del conjunto que toma como entrada, sino que usa esos elementos para combinarlos y crear subconjuntos que son los elementos de esta nueva operación.

Ok, ok, quizá me puse muy intenso con el párrafo de arriba, veamos un poco más calmado como es que funciona.

 

conjunto12

Esta operación basicamente nos da un conjunto en el que estan todos los conjuntos que son sub- conjuntos de tu conjunto original.

Ideas Importantes

conjunto13

Tabla

Podemos hacer uso de una tabla y el binario para encontrar todos los elementos del conjunto potencia.

Si quieres crear un conjunto potencia, escribe la sucesión de números binarios de n cifras, y con cada número haz un subconjunto: Cuando haya un ′1′, añade el elemento que corresponde.

 

conjunto14

 


Leyes del Álgebra de Conjuntos

 

conjunto15conjunto16    conjunto18

 

conjunto19

conjunto17

 

 

 

 


Cardinalidad

Ok, vamos avanzando, ahora es la hora de ver una característica de los conjuntos. La Cardinalidad, que no es mas que una forma fancy de decir el número de elementos ó entes que contiene cierto conjunto.

Puedes verlo como una función que recibe un conjunto cualquiera y te regresa un número (Bueno, tecnicamente también sta el caso en el que la cardinalidad es infinita).

Esta es la forma en que solemos expresar la car- dinalidad de un conjunto cualquiera:

 

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Cosas Utiles

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